Encontre a fórmula para a função inversa.
f(x)=1+e^x1-e^x.

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
f(x)=1+e^x1-e^x
Para achar f^-1, vamos usar a técnica clássica: definir y=f(x), resolver essa equação para x em função de y e, por fim, trocar y por x.

Passo 2

Definimos
y=1+e^x1-e^x
Para facilitar a álgebra, façamos a substituição u=e^x, sabendo que u>0. Então
y=1+u1-u

Passo 3

Multiplicamos em cruz para isolar u:
y,(1-u)=1+u
y - y,u = 1 + u
Agrupando os termos com u:
-y,u - u = 1 - y
u,(-,y - 1)=1 - y
u=1-y-,(y+1)=y-1y+1

Passo 4

Voltando a x, temos e^x=u=(y-1)/(y+1). Logo
x=ln!gl(y-1y+1gr)
Assim, trocando y por x, a inversa é
f^-1(x)=ln!gl(x-1x+1gr),
com domínio xmid x>1 ou x<-1, pois precisamos de (x-1)/(x+1)>0.

Resposta

f^-1(x)=ln!gl(x-1x+1gr)

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