Se quatro americanos, três franceses e três ingleses sāo colocados em uma fila, determine o número de maneiras de dispô-los de forma que nenhum grupo de mesma nacionalidade fique todo junto.
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de dispor em fila quatro americanos, três franceses e três ingleses de modo que nenhum grupo de mesma nacionalidade fique todo junto (isto é, não tenham os
americanos consecutivos, nem os
franceses consecutivos, nem os
ingleses consecutivos). Vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para excluir as configurações em que algum desses grupos forma um bloco único.
Passo 2
Primeiro, calculamos o total de permutações sem restrição. São
pessoas distintas no total, logo
Passo 3
Definimos os eventos
: “os
americanos estão juntos”,
: “os
franceses estão juntos”,
: “os
ingleses estão juntos”.
Para
, tratamos os
americanos como um bloco único mais os outros
indivíduos, dando
“objetos”. Esses
objetos permutam em
formas, e internamente os
americanos permutam em
. Logo
Analogamente, para franceses juntos temos
bloco de
franceses
outros
objetos, com interna
, ou seja
e o mesmo vale para ingleses juntos:
Passo 4
Agora as interseções de dois eventos:
Somando as interseções duplas:
Passo 5
Interseção tripla
: três blocos (
americanos,
franceses,
ingleses) formam
objetos que permutam em
, com internas
,
e
. Logo
Passo 6
Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão, o número desejado é