Se quatro americanos, três franceses e três ingleses sāo colocados em uma fila, determine o número de maneiras de dispô-los de forma que nenhum grupo de mesma nacionalidade fique todo junto.

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de dispor em fila quatro americanos, três franceses e três ingleses de modo que nenhum grupo de mesma nacionalidade fique todo junto (isto é, não tenham os 4 americanos consecutivos, nem os 3 franceses consecutivos, nem os 3 ingleses consecutivos). Vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão para excluir as configurações em que algum desses grupos forma um bloco único.

Passo 2

Primeiro, calculamos o total de permutações sem restrição. São 10 pessoas distintas no total, logo
Total = 10! = 3,628,800

Passo 3

Definimos os eventos
XA: “os 4 americanos estão juntos”,
XF: “os 3 franceses estão juntos”,
XE: “os 3 ingleses estão juntos”.
Para ,XA, tratamos os 4 americanos como um bloco único mais os outros 6 indivíduos, dando 7 “objetos”. Esses 7 objetos permutam em 7! formas, e internamente os 4 americanos permutam em 4!. Logo
N(XA) = 7!times 4! = 5040 times 24 = 120,960
Analogamente, para franceses juntos temos 1 bloco de 3 franceses +7 outros =8 objetos, com interna 3!, ou seja
N(XF) = 8! times 3! = 40,320 times 6 = 241,920,
e o mesmo vale para ingleses juntos:
N(XE) = 8! times 3! = 241,920

Passo 4

Agora as interseções de dois eventos:
1. XAcap XF: blocos de 4 americanos e de 3 franceses mais os 3 ingleses soltos dão 5 objetos, logo
N(XAcap XF) = 5!times 4!times 3! = 120 times 24 times 6 = 17,280
2. XAcap XE: blocos de americanos e de ingleses mais 3 franceses soltos também dá
N(XAcap XE) = 5!times4!times3! = 17,280
3. XFcap XE: dois blocos de três mais 4 americanos soltos são 6 objetos, logo
N(XFcap XE) = 6!times3!times3! = 720 times 6 times 6 = 25,920
Somando as interseções duplas:
N2 = 17,280 + 17,280 + 25,920 = 60,480

Passo 5

Interseção tripla XAcap XFcap XE: três blocos ( 4 americanos, 3 franceses, 3 ingleses) formam 3 objetos que permutam em 3!, com internas 4!, 3! e 3!. Logo
N(XAcap XFcap XE) = 3!times4!times3!times3! = 6 times 24 times 6 times 6 = 5,184

Passo 6

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão, o número desejado é
N(nenhum bloco) &= 10! - l[N(XA)+N(XF)+N(XE)r] & + N2 - N(XAcap XFcap XE) &= 3,628,800 - 604,800 + 60,480 - 5,184 &= 3,079,296

Resposta

3,079,296 maneiras.

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