Encontre uma fórmula geral para F^prime prime(x) se F(x)=x f(x) e f e f^prime forem diferenciáveis em x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=x,f(x)
e pede a segunda derivada F''(x).
O conteúdo aqui é a regra do produto e a derivação sucessiva, sabendo que f e f' são diferenciáveis (logo existe também f'').

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada F'(x) usando a regra do produto:
F'(x)=ddx[x]cdot f(x)+xcdot ddx[f(x)] =1cdot f(x)+x f'(x) =f(x)+x f'(x)

Passo 3

Agora derivamos F'(x) para obter F''(x). Aplicamos a derivada na soma e, de novo, a regra do produto em x f'(x):
F''(x) =ddx[f(x)]+ddxl[x f'(x)r] =f'(x)+l(1cdot f'(x)+x f''(x)r) = f'(x)+f'(x)+x f''(x) =2,f'(x)+x,f''(x)

Resposta

F''(x)=2,f'(x)+x,f''(x)

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