Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
f(x, y, z)=raizx y z, (3,2,6), v=(-1,-2, 2).

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f(x,y,z)=√(xyz) e queremos calcular a derivada direcional no ponto P=(3,2,6) na direção do vetor v=(-1,-2,2). O conteúdo principal aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a fórmula D_u f§=∇f§·u, onde u é o vetor v normalizado.

Passo 2

Para obter o gradiente ∇f(x,y,z), calculamos as derivadas parciais. Como f(x,y,z)=(xyz)^{1/2}, temos
nabla f(x,y,z)=(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial z)
Usando a regra da cadeia e potência, obtemos
partial fpartial x=yz2raizxyz, partial fpartial y=xz2raizxyz, partial fpartial z=xy2raizxyz

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(3,2,6). Primeiro notamos que √(3·2·6)=6, então o denominador 2√(xyz) fica 12. Assim,
partial fpartial x(3,2,6)=2cdot612=1, partial fpartial y(3,2,6)=3cdot612=32, partial fpartial z(3,2,6)=3cdot212=12
Logo, nabla f(3,2,6)=(1,tfrac32,tfrac12).

Passo 4

Em seguida, precisamos do vetor unitário u na direção de v=(-1,-2,2). Calculamos o módulo de v:
|v|=raiz(-1)^2+(-2)^2+2^2=3
Portanto,
u=v|v|=(-tfrac13,-tfrac23,tfrac23)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre ∇f(3,2,6) e u. Temos:
Duf(3,2,6)=(1,tfrac32,tfrac12)cdot(-tfrac13,-tfrac23,tfrac23) =1cdot(-tfrac13)+tfrac32cdot(-tfrac23)+tfrac12cdot(tfrac23) =-tfrac13-1+tfrac13=-1

Resposta

-1

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