Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
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Passo 1
Nesse exercício, temos a função f(x,y,z)=√(xyz) e queremos calcular a derivada direcional no ponto P=(3,2,6) na direção do vetor v=(-1,-2,2). O conteúdo principal aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar usar a fórmula D_u f§=∇f§·u, onde u é o vetor v normalizado.
Passo 2
Para obter o gradiente ∇f(x,y,z), calculamos as derivadas parciais. Como f(x,y,z)=(xyz)^{1/2}, temos
Usando a regra da cadeia e potência, obtemos
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em P=(3,2,6). Primeiro notamos que √(3·2·6)=6, então o denominador 2√(xyz) fica 12. Assim,
Logo,
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Passo 4
Em seguida, precisamos do vetor unitário u na direção de v=(-1,-2,2). Calculamos o módulo de v:
Portanto,
Passo 5
Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre ∇f(3,2,6) e u. Temos:
Resposta
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