Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continua.
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
e pede uma fórmula para o termo geral
, supondo que o padrão mostrado continue.
Informações claras extraídas do enunciado:
Informações claras extraídas do enunciado:
- O primeiro termo é
. - Os termos subsequentes são
. - A pergunta: encontrar uma expressão fechada para
em função de .
Passo 2
Vamos olhar as razões entre termos consecutivos para identificar o padrão. Calcular:
As três razões dão o mesmo valor
. Quando a razão entre termos consecutivos é constante, a sequência é geométrica. Aqui a razão comum (razão) é
.
Passo 3
Revisão curta e didática do que significa sequência geométrica e da fórmula do termo geral.
- Uma sequência é geométrica se existe um número
tal que, para todo ,
- A partir disso, escrevendo alguns termos:
e assim por diante. Percebe-se o padrão: para qualquer
,
Aqui
é o primeiro termo e
é a razão; o expoente
conta quantas vezes se multiplicou
por
para chegar a
.
Passo 4
Aplicando a fórmula geral da sequência geométrica aos dados do problema:
e
. Assim
Portanto uma forma conveniente é
Também é útil escrever numa forma que destaque o sinal alternado:
que é algebraicamente equivalente à anterior.
Passo 5
Verificações rápidas para ficar seguro (faça isso na prova para checar):
- Para
: (ok). - Para
: (ok). - Para
: (ok).
Tudo bate com os termos fornecidos, então a fórmula está correta.
Passo 6
Dica prática para a prova (resumida e amistosa): ao ver termos que mudam de sinal e cujos módulos crescem como potências de um número, tente dividir termo a termo para achar a razão. Se a razão for constante, use
. Isso costuma resolver rápido essas questões.