Encontre uma fórmula para o termo geral a_{n} da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continua.
(1,-2,4,-8,16,-32, \ldots).

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são (1,-2,4,-8,16,-32,\ldots) e pede uma fórmula para o termo geral a_{n}, supondo que o padrão mostrado continue.
Informações claras extraídas do enunciado:
  • O primeiro termo é a_{1}=1.
  • Os termos subsequentes são -2,4,-8,16,-32,\ldots.
  • A pergunta: encontrar uma expressão fechada para a_{n} em função de n.

Passo 2

Vamos olhar as razões entre termos consecutivos para identificar o padrão. Calcular:
\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-2}{1}=-2,\qquad \frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{4}{-2}=-2,\qquad \frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{-8}{4}=-2.
As três razões dão o mesmo valor -2. Quando a razão entre termos consecutivos é constante, a sequência é geométrica. Aqui a razão comum (razão) é r=-2.

Passo 3

Revisão curta e didática do que significa sequência geométrica e da fórmula do termo geral.
  • Uma sequência é geométrica se existe um número r tal que, para todo n\ge1,
a_{n+1}=r\cdot a_{n}.
  • A partir disso, escrevendo alguns termos:
a_{2}=a_{1}r,\qquad a_{3}=a_{2}r=(a_{1}r)r=a_{1}r^{2},\qquad a_{4}=a_{1}r^{3},
e assim por diante. Percebe-se o padrão: para qualquer n\ge1,
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1}.
Aqui a_{1} é o primeiro termo e r é a razão; o expoente n-1 conta quantas vezes se multiplicou a_{1} por r para chegar a a_{n}.

Passo 4

Aplicando a fórmula geral da sequência geométrica aos dados do problema: a_{1}=1 e r=-2. Assim
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1}=1\cdot(-2)^{\,n-1}.
Portanto uma forma conveniente é
a_{n}=(-2)^{\,n-1}.
Também é útil escrever numa forma que destaque o sinal alternado:
a_{n}=(-1)^{\,n-1}\,2^{\,n-1},
que é algebraicamente equivalente à anterior.

Passo 5

Verificações rápidas para ficar seguro (faça isso na prova para checar):
  • Para n=1: a_{1}=(-2)^{0}=1 (ok).
  • Para n=2: a_{2}=(-2)^{1}=-2 (ok).
  • Para n=6: a_{6}=(-2)^{5}=-32 (ok).
    Tudo bate com os termos fornecidos, então a fórmula está correta.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumida e amistosa): ao ver termos que mudam de sinal e cujos módulos crescem como potências de um número, tente dividir termo a termo para achar a razão. Se a razão for constante, use a_{n}=a_{1}r^{n-1}. Isso costuma resolver rápido essas questões.

Resposta

a_{n}=(-2)^{\,n-1}
a_{n}=(-1)^{\,n-1}\,2^{\,n-1}

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