Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
© 12,-43, 94,-165, 256, cdots
9
Dê exemplo de uma sequência an, não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, achar a fórmula do termo geral da sequência tfrac12,-tfrac43,tfrac94,-tfrac165,tfrac256,dots (item ©); depois, dar um exemplo de sequência não constante que seja limitada e crescente (item 9(a)). Vamos usar padrões de numerador, denominador e sinal para a primeira parte e construir uma sequência simples para a segunda.

Passo 2

Observando os numeradores: 1, 4, 9, 16, 25, … vemos que cada termo é um quadrado perfeito. Para o n-ésimo termo, o numerador é n^2.
O denominador segue o padrão 2, 3, 4, 5, 6, … que é simplesmente n+1 quando o índice começa em 1.
O sinal dos termos é alternado: +, –, +, –, … Começando positivo para n=1. Para isso usamos o fator (-1)^n-1, pois (-1)^n-1=+1 em n=1 e muda de sinal a cada incremento de n.
Juntando numerador, denominador e sinal, obtemos a fórmula do termo geral:
an = (-1)^n-1,n^2n+1

Passo 3

Para o exemplo de sequência limitada e crescente, escolhemos
an = 1 - 1n, n>=1 Vamos verificar as propriedades:

Passo 4

Para ver que é crescente, note que
an+1-an = l(1-tfrac1n+1r)-l(1-tfrac1nr)=tfrac1n-tfrac1n+1>0 para todo n, então an+1>an.
Para ver que é limitada, observamos que 0 < 1-tfrac1n <1 para todo n. Logo, an fica sempre no intervalo (0,1), provando que é limitada.

Resposta

© an = (-1)^n-1,n^2n+1
(a) Um exemplo de sequência não constante, limitada e crescente é an = 1 - 1n, que satisfaz 0 < an < 1 e cresce com n.

Exercícios relacionados