Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=x-yx+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o domínio da função e também o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem. Isso está relacionado com os conceitos de funções e derivadas parciais, onde o domínio é o conjunto de valores de e que a função ou suas derivadas estão “valendo” (ou seja, são bem definidas).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função x + y neq 0 . Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, precisamos que:
Isso significa que não pode ser igual a . Assim, o domínio da função é todos os pares onde .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função fx(x, y) = partialpartial x ( x - yx + y ) = (1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = x + y - x + y(x + y)^2 = 2y(x + y)^2 . Temos duas derivadas para calcular: uma em relação a fy(x, y) = partialpartial y ( x - yx + y ) = (-1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = -x - y - x + y(x + y)^2 = -2x(x + y)^2 e outra em relação a .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Depois, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos determinar o domínio das derivadas parciais x + y neq 0 e . Observando as fórmulas das derivadas, vemos que o denominador é . Assim como na função original, o denominador não pode ser zero:
Ou seja, as derivadas parciais também têm o mesmo domínio que a função original: todos os pares onde .

Resposta

O domínio da função e o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem são todos os pares onde .

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