Determine o domínio da função e o domínio de suas funções derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir o domínio da função
e também o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem. Isso está relacionado com os conceitos de funções e derivadas parciais, onde o domínio é o conjunto de valores de
e
que a função ou suas derivadas estão “valendo” (ou seja, são bem definidas).
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função
. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, precisamos que:
Isso significa que
não pode ser igual a
. Assim, o domínio da função é todos os pares
onde
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Temos duas derivadas para calcular: uma em relação a
e outra em relação a
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Depois, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o domínio das derivadas parciais
e
. Observando as fórmulas das derivadas, vemos que o denominador é
. Assim como na função original, o denominador não pode ser zero:
Ou seja, as derivadas parciais também têm o mesmo domínio que a função original: todos os pares
onde
.
Resposta
O domínio da função
e o domínio das suas derivadas parciais de primeira ordem são todos os pares
onde
.