Encontre uma fórmula para o termo geral da sequiência (1,0,1,0,1, ldots) , supondo que o padrão dos primeiros termos se repita:

Passo 1

O enunciado pede o termo geral da sequência (an)ninN=(1,0,1,0,1,ldots). O conteúdo é sequência periódica de período 2 e vamos usar a ideia de paridade de n para montar a fórmula.

Passo 2

Como a sequência tem período 2, ela repete os valores 1 e 0 alternadamente. Isso sugere usar uma função que distinga n par de n ímpar.

Passo 3

Uma ferramenta clássica para detectar paridade é o termo (-1)^n, que vale 1 quando n é par e –1 quando n é ímpar. Queremos, porém, uma expressão que gere 1 para n ímpar e 0 para n par.

Passo 4

Para converter a saída de (-1)^n em 1 ou 0, note que se (-1)^n=1 (ou seja, n par) queremos 0; se (-1)^n=-1 (ou seja, n ímpar) queremos 1. A combinação linear
an=1-(-1)^n2
faz exatamente isso.

Passo 5

Vamos testar: para n=1, (-1)^1=-1 e (1-(-1))/2=1. Para n=2, (-1)^2=1 e (1-1)/2=0. Isso coincide com os termos dados.

Passo 6

Assim chegamos à fórmula fechada desejada.

Resposta

an=dfrac1-(-1)^n2

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