Expanda f(z)=1z(z-3) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
|z|>3

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de Laurent a função f(z)=1z(z-3) no anel |z|>3. O conteúdo aqui é séries de Laurent e vamos precisar reescrever f(z) de modo a aplicar a expansão geométrica válida para |z|>3.

Passo 2

Note que podemos escrever
f(z)=1z(z-3)=1z^2cdot11-3z
Para |z|>3 temos |tfrac3z|<1, então usamos a série geométrica
11-3z=sumn=0^inftyl(3zr)^n

Passo 3

Multiplicando por 1/z^2 obtemos a série de Laurent
f(z)=1z^2sumn=0^infty3^nz^n=sumn=0^infty3^nz^n+2
Essa expansão converge exatamente quando |tfrac3z|<1, ou seja |z|>3, que é o domínio pedido.

Resposta

sumn=0^infty3^nz^n+2

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