Encontre uma fórmula para o termo geral S_{n} das séries.
\frac{1}{1}+\frac{5}{2}+\frac{25}{4}+\frac{125}{8}+\cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\frac{1}{1}+\frac{5}{2}+\frac{25}{4}+\frac{125}{8}+\cdots
que é uma progressão geométrica cujos termos são
a_1 = \frac{1}{1}=1 \quad\text{e}\quad a_k = \frac{5^{\,k-1}}{2^{\,k-1}}\quad (k\ge1).
O conteúdo aqui é soma de termos de uma série geométrica, e vamos precisar da fórmula do somatório parcial S_n de uma PG de primeiro termo a_1 e razão r.

Passo 2

Identificamos a razão r da PG observando a relação entre dois termos consecutivos. Por exemplo,
r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\tfrac{5}{2}}{1} = \frac{5}{2}.

Passo 3

A fórmula geral para a soma dos n primeiros termos de uma PG de primeiro termo a_1 e razão r\neq1 é
S_n = a_1 \,\frac{1 - r^n}{1 - r}.

Passo 4

No nosso caso a_1=1 e r=\tfrac{5}{2}, então
S_n = 1\cdot \frac{1 - \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^n}{1 - \tfrac{5}{2}} = \frac{1 - \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^n}{-\tfrac{3}{2}} = \frac{\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^n - 1}{\tfrac{3}{2}}.

Passo 5

Bastou inverter a fração \tfrac{3}{2} e obter a forma simplificada:
S_n = \frac{2}{3}\Bigl[\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^n - 1\Bigr].

Resposta

S_n = \frac{2}{3}\Bigl[\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^n - 1\Bigr].

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