Nos exercícios abaixo encontre os quatro primeiros elementos das somas parciais S_{n}.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n}{(2 n-1)(2 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros valores de
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{2k}{(2k-1)(2k+1)}
Isso envolve decompor cada termo em frações parciais e depois somar para n=1,2,3,4.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral
a_{n}=\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)}
em frações parciais. Suponha
\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Então
2n = A(2n+1)+B(2n-1) =2(A+B)n + (A - B).
Comparando coeficientes, obtemos
A+B=1, \quad A-B=0 \;\Longrightarrow\; A=B=\tfrac12.
Logo
a_{n} =\frac{2n}{(2n-1)(2n+1)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos os quatro primeiros termos a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}:
a_{1}=\frac{2\cdot1}{1\cdot3}=\frac{2}{3},\quad a_{2}=\frac{2\cdot2}{3\cdot5}=\frac{4}{15},
a_{3}=\frac{2\cdot3}{5\cdot7}=\frac{6}{35},\quad a_{4}=\frac{2\cdot4}{7\cdot9}=\frac{8}{63}.

Passo 4

Somando até cada n para obter S_{n}:
S_{1}=a_{1}=\frac{2}{3},
S_{2}=a_{1}+a_{2} =\frac{2}{3}+\frac{4}{15} =\frac{10}{15}+\frac{4}{15} =\frac{14}{15},
S_{3}=S_{2}+a_{3} =\frac{14}{15}+\frac{6}{35} =\frac{98}{105}+\frac{18}{105} =\frac{116}{105},
S_{4}=S_{3}+a_{4} =\frac{116}{105}+\frac{8}{63} =\frac{348}{315}+\frac{40}{315} =\frac{388}{315}.

Resposta

S_{1}=\tfrac{2}{3}
S_{2}=\tfrac{14}{15}
S_{3}=\tfrac{116}{105}
S_{4}=\tfrac{388}{315}

Exercícios relacionados