Exercício 9. Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa.
f:[0,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[, f(x)=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado define a função
f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[ dada por
f(x)=\sqrt{x}
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e, caso seja bijetora, encontrar sua inversa. Vamos usar as definições formais de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para mostrar que f é injetora, usamos a definição:
f é injetora se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), então x_{1}=x_{2}.
Suponha f(x_{1})=f(x_{2}). Isso quer dizer
\sqrt{x_{1}} = \sqrt{x_{2}}.
Elevando ambos os lados ao quadrado (que é bijetivo em [0,+\infty[), obtemos
x_{1} = x_{2}.
Logo, f é injetora.

Passo 3

Para mostrar que f é sobrejetora, usamos a definição:
f é sobrejetora se, para todo y\in[0,+\infty[, existe x\in[0,+\infty[ tal que f(x)=y.
Dado um y\ge 0, basta escolher
x = y^{2}\ge 0,
pois
f(x)=\sqrt{y^{2}}=y.
Assim, todo y\ge0 tem um antecessor x=y^2 em [0,+\infty[, e f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora, concluímos que ela é bijetora. Para achar a inversa, escrevemos
y = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad x = y^{2}
e obtemos
f^{-1}(y)=y^{2},\quad y\in[0,+\infty[.

Resposta

A função f é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.
Sua inversa é
f^{-1}(y)=y^{2},\quad y\in[0,+\infty[.

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