Exercício 9. Determine se cada uma das funções abaixo é injetora ou sobrejetora. Nos casos em que a função for bijetora, determine sua inversa.
.
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
e pede para verificar se ela é injetora, sobrejetora e, caso seja bijetora, encontrar sua inversa. Vamos usar as definições formais de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para mostrar que
é injetora, usamos a definição:
é injetora se, sempre que
, então
.
Suponha . Isso quer dizer
Suponha
Elevando ambos os lados ao quadrado (que é bijetivo em
), obtemos
Logo,
é injetora.
Passo 3
Para mostrar que
é sobrejetora, usamos a definição:
é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
Dado um , basta escolher
Dado um
pois
Assim, todo
tem um antecessor
em
, e
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é injetora e sobrejetora, concluímos que ela é bijetora. Para achar a inversa, escrevemos
e obtemos
Resposta
A função
é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.
Sua inversa é
Sua inversa é