O enunciado pede a fórmula do volume de uma esfera de raio . O conteúdo principal é cálculo de volume usando integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos usar a expressão do elemento de volume em esféricas, .
Passo 2
Em coordenadas esféricas, cada ponto é dado por , onde e . A esfera de raio corresponde a .
Passo 3
O volume da esfera é dado pela integral tripla
Passo 4
Integramos primeiro em :
Então a integral vira
V = integral0^2piintegral0^pia^33sintheta,dtheta,dphi
Passo 5
Agora integramos em theta:
integral0^pisintheta,dtheta = 2
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V = integral0^2pi2a^33,dphi = 2a^33integral0^2pidphi