Encontre a formula do volume da esfera de raio a.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do volume de uma esfera de raio a. O conteúdo principal é cálculo de volume usando integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos usar a expressão do elemento de volume em esféricas, dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, cada ponto é dado por (r,theta,phi), onde rin[0,a],thetain[0,pi] e phiin[0,2pi]. A esfera de raio a corresponde a r<= a.

Passo 3

O volume V da esfera é dado pela integral tripla
V = integralphi=0^2piintegraltheta=0^piintegralr=0^ar^2sintheta,dr,dtheta,dphi

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^ar^2,dr = r^33|0^a = a^33
Então a integral vira
V = integral0^2piintegral0^pia^33sintheta,dtheta,dphi

Passo 5

Agora integramos em theta:
integral0^pisintheta,dtheta = 2
Logo
V = integral0^2pi2a^33,dphi = 2a^33integral0^2pidphi

Passo 6

Por fim, integramos em phi:
integral0^2pidphi = 2pi,
de modo que
V = 2a^33cdot 2pi = 4pi a^33

Resposta

V=43pi a^3

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