Para quais valores de p, a integral imprópria abaixo é convergente?
integral3^+infty d xx ln x[ln (ln x)]^p

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
integral3^infty dxx,ln x,[ln(ln x)]^p
Esse é um problema de análise de convergência de integrais impróprias, onde vamos usar mudanças de variável para reduzir a um caso-padrão de integral do tipo integral^infty u^-p,du.

Passo 2

Para simplificar o fator x e transformar dx/x em dt, fazemos a troca de variável
t = ln x,
o que implica
dt = dxx
Quando xto3, ttoln3, e quando xtoinfty, ttoinfty. A integral fica
integralln3^infty dtt,[ln t]^p

Passo 3

Agora aplicamos a mudança de variável para lidar com t e ln t. Definimos
u = ln t,
de modo que
du = dtt
Quando ttoln3, nutoln(ln3), e quando ttoinfty, nutoinfty. Substituindo, obtemos
integralln(ln3)^infty dunu^p

Passo 4

Restou uma integral de potência:
integralA^infty nu^-p,dnu,
com A=ln(ln3). Sabemos que integralA^infty nu^-p,dnu converge se, e só se, p>1. Isso vem do cálculo direto:
Se pneq1,
integralA^infty nu^-p,dnu = l[nu^1-p1-pr]A^infty,
e o termo nu^1-p tende a zero no infinito exatamente quando 1-p<0, ou seja, p>1.

Resposta

A integral converge apenas para p>1.

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