Para quais valores de
, a integral imprópria abaixo é convergente?
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral imprópria
Esse é um problema de análise de convergência de integrais impróprias, onde vamos usar mudanças de variável para reduzir a um caso-padrão de integral do tipo
.
Passo 2
Para simplificar o fator
e transformar
em
, fazemos a troca de variável
o que implica
Quando
,
, e quando
,
. A integral fica
Passo 3
Agora aplicamos a mudança de variável para lidar com
e
. Definimos
de modo que
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo, obtemos
Passo 4
Restou uma integral de potência:
com
. Sabemos que
converge se, e só se,
. Isso vem do cálculo direto:
Se
,
e o termo
tende a zero no infinito exatamente quando
, ou seja,
.
Resposta
A integral converge apenas para p>1.