Encontre as fórmulas de recorrência e termo geral an das sequências abaixo:
2,7,12,17, ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas coisas para a sequência 2, 7, 12, 17, ldots: a fórmula de recorrência e o termo geral an. Para isso, vamos usar conceitos de sequências e progressão aritmética. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma fórmula de recorrência. Basicamente, ela mostra como calcular um termo da sequência usando o termo anterior. No caso das progressões aritméticas, a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma.
Vamos descobrir essa diferença constante. Olha só:
  • 7 - 2 = 5
  • 12 - 7 = 5
  • 17 - 12 = 5
Viu? A diferença é sempre 5. Então, a fórmula de recorrência vai dizer que para qualquer termo an, ele é igual ao termo anterior an-1 mais 5. Ficando assim:
an = an-1 + 5

Passo 3

Agora, vamos encontrar o termo geral an, que é uma fórmula que dá diretamente o valor de qualquer termo da sequência, sem precisar saber os termos anteriores. Para progressões aritméticas, a fórmula geral é:
an = a1 + (n - 1) times d
Onde:
  • a1 é o primeiro termo da sequência
  • d é a diferença comum entre os termos
  • n é a posição do termo na sequência
Sabemos que:
  • a1 = 2
  • d = 5
Substituindo esses valores na fórmula:
an = 2 + (n - 1) times 5 an = 2 + 5n - 5 an = 5n - 3

Resposta

A fórmula de recorrência é an = an-1 + 5 e o termo geral é an = 5n - 3.

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