Encontre as fórmulas de recorrência e termo geral an das sequências abaixo:
5, 103, 209, 4027, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência que começa com 5, depois 10/3, 20/9, 40/27 e assim por diante. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a fórmula de recorrência, que mostra como cada termo se relaciona com o anterior, e o termo geral $ a_n $, que dá qualquer termo da sequência diretamente com base na posição dele. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências geométricas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Olhando os termos:
  • Primeiro termo: $ a_1 = 5 $
  • Segundo termo: $ a_2 = \frac{10}{3} $
  • Terceiro termo: $ a_3 = \frac{20}{9} $
  • Quarto termo: $ a_4 = \frac{40}{27} $
Parece que cada termo está sendo multiplicado por $ \frac{2}{3} $ para chegar no próximo. Por exemplo, $ 5 \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3} $, e $ \frac{10}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{9} $.

Passo 3

Como cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante ($ \frac{2}{3} $), essa é uma sequência geométrica. A característica principal das sequências geométricas é que cada termo é o anterior multiplicado por uma razão fixa.

Passo 4

A fórmula de recorrência para uma sequência geométrica é dada por:
an = an-1 times r
Onde $ r $ é a razão da sequência. No nosso caso, $ r = \frac{2}{3} $. Então, a fórmula de recorrência fica:
r

Passo 5

Agora, vamos encontrar o termo geral $ a_n $. Para sequências geométricas, o termo geral é dado por:
an
Substituindo $ a_1 = 5 $ e $ r = \frac{2}{3} $:
an = a1 times r^n-1

Resposta

A fórmula de recorrência é $ a_n = a_{n-1} \times \frac{2}{3} $ e o termo geral é $ a_n = 5 \times \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} $.

Exercícios relacionados