Encontre as fórmulas de recorrência e termo geral an das sequências abaixo:
-23, 39,-427, 581, ldots

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência -tfrac23,;tfrac39,;-tfrac427,;tfrac581,dots e pede a fórmula de recorrência e o termo geral an. Vamos tratar de reconhecer padrões de numerador, denominador e sinal.

Passo 2

Observe os denominadores dos termos: 3, 9, 27, 81,… que correspondem a potências de 3. Ou seja, para cada n temos:
denominador = 3^n

Passo 3

Agora veja os numeradores com sinal: -2, 3, -4, 5,dots. Os valores absolutos formam a sequência 2,3,4,5,dots, que é n+1 para o n-ésimo termo, e o sinal alterna começando negativo. Isso sugere um fator (-1)^n.

Passo 4

Juntando numerador e denominador, o termo geral fica:
an = (-1)^n,(n+1)3^n

Passo 5

Para obter a recorrência, calcule a razão an / an-1:
anan-1 = (-1)^n(n+1)/3^n(-1)^n-1n/3^n-1 = -n+13n
Isolando an em função de an-1 e definindo a1=-tfrac23, temos uma fórmula de recorrência.

Resposta

Fórmula de recorrência:
a1 = -23, an = -n+13n,an-1(n>=2)
Termo geral:
an = (-1)^n,(n+1)3^n

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