Encontre valores de k tais que os gráficos das funções f(x)=x^3+x^2-5 x+k e g(x)=x(x-1)((x-5)^2+1) tenham ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado pede encontrar todos os valores de k tais que os gráficos de
f(x)=x³+x²−5x+k
e
g(x)=x(x−1)[(x−5)²+1]
tenham ponto de tangência. O conteúdo principal aqui é entender que “tangência” significa existir um ponto a onde as duas curvas têm mesmo valor e mesma inclinação, ou seja f(a)=g(a) e f′(a)=g′(a).

Passo 2

Primeiro vamos obter as derivadas. Para f(x) temos
f(x)=3x²+2x−5 ²
Para g(x) é mais fácil expandir:
g(x)=x(x−1)(x²−10x+26)=x⁴−11x³+36x²−26x ²³²
então
g(x)=4x³−33x²+72x−26 ³²

Passo 3

Agora impomos a igualdade das inclinações em x=a:
f(a)=g(a)
Isto dá
3a²+2a−5=4a³−33a²+72a−26 ²³²
Reorganizando,
4a³−36a²+70a−21=0 ³²
Este é um polinômio cúbico em a.

Passo 4

Como esse cúbico não se fatoriza de forma simples, encontramos numericamente suas três raízes reais: aproximadamente
a₁≈0,366, a₂≈2,247, a₃≈6,387

Passo 5

Para cada um desses valores aᵢ calculamos k usando f(aᵢ)=g(aᵢ). Como f(a)=a³+a²−5a+k e g(a)=a⁴−11a³+36a²−26a, temos
k=g(a)−[a³+a²−5a] ³²
Substituindo cada aᵢ numericamente obtemos:
para a₁≈0{,}366 → k₁≈−3{,}566
para a₂≈2{,}247 → k₂≈18{,}832
para a₃≈6{,}387 → k₃≈−169{,}175

Resposta

k≈−3{,}566,\quad k≈18{,}832,\quad k≈−169{,}175

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