Encontre valores de
tais que os gráficos das funções
e
tenham ponto de tangência.
Passo 1
O enunciado pede encontrar todos os valores de k tais que os gráficos de
f(x)=x³+x²−5x+k
e
g(x)=x(x−1)[(x−5)²+1]
tenham ponto de tangência. O conteúdo principal aqui é entender que “tangência” significa existir um ponto a onde as duas curvas têm mesmo valor e mesma inclinação, ou seja f(a)=g(a) e f′(a)=g′(a).
f(x)=x³+x²−5x+k
e
g(x)=x(x−1)[(x−5)²+1]
tenham ponto de tangência. O conteúdo principal aqui é entender que “tangência” significa existir um ponto a onde as duas curvas têm mesmo valor e mesma inclinação, ou seja f(a)=g(a) e f′(a)=g′(a).
Passo 2
Primeiro vamos obter as derivadas. Para f(x) temos
Para g(x) é mais fácil expandir:
então
Passo 3
Agora impomos a igualdade das inclinações em x=a:
Isto dá
Reorganizando,
Este é um polinômio cúbico em a.
Passo 4
Como esse cúbico não se fatoriza de forma simples, encontramos numericamente suas três raízes reais: aproximadamente
Passo 5
Para cada um desses valores aᵢ calculamos k usando f(aᵢ)=g(aᵢ). Como f(a)=a³+a²−5a+k e g(a)=a⁴−11a³+36a²−26a, temos
Substituindo cada aᵢ numericamente obtemos:
para a₁≈0{,}366 → k₁≈−3{,}566
para a₁≈0{,}366 → k₁≈−3{,}566
para a₂≈2{,}247 → k₂≈18{,}832
para a₃≈6{,}387 → k₃≈−169{,}175
Resposta
k≈−3{,}566,\quad k≈18{,}832,\quad k≈−169{,}175