Encontre \frac{d}{d x}\left[x^{n}\right], onde n é um número real.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^n, onde n é um número real. Vamos usar a técnica de log-diferenciação, que consiste em aplicar \ln para tirar a potência e depois diferenciar.

Passo 2

Assumimos x>0 (para que \ln x faça sentido) e escrevemos
\ln f(x)=\ln\bigl(x^n\bigr)=n\,\ln x.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, pela regra da cadeia temos
\frac{d}{dx}[\ln f(x)] = \frac{f'(x)}{f(x)},
e pela regra do logaritmo
\frac{d}{dx}[n\,\ln x] = n\cdot\frac{1}{x}.
Portanto,
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{n}{x}.

Passo 4

Isolando f'(x) e lembrando que f(x)=x^n, multiplicamos ambos os lados por x^n:
f'(x) = x^n\cdot\frac{n}{x} = n\,x^{n-1}.

Resposta

\frac{d}{dx}[x^n] = n\,x^{n-1}.

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