Encontre \frac{d y}{d x} derivando implicitamente:
1+x=\operatorname{sen}(x y)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada \frac{d y}{d x} da equação implícita
1 + x = \sin(xy)^{2}.
Para isso vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia e, dentro dela, a regra do produto para xy.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
o lado esquerdo dá
\frac{d}{dx}\bigl(1 + x\bigr)=1,
e o direito, com u=\sin(xy), é
\frac{d}{dx}\bigl(u^{2}\bigr) =2\,u\;\frac{du}{dx} =2\,\sin(xy)\;\frac{d}{dx}\bigl[\sin(xy)\bigr].
Ainda em \frac{d}{dx}[\sin(xy)] aplicamos a cadeia com v=xy:
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(v)\bigr] =\cos(v)\,\frac{dv}{dx} =\cos(xy)\,\frac{d}{dx}(xy) =\cos(xy)\bigl(y + x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr).

Passo 3

Reunindo, a derivada do lado direito fica
2\,\sin(xy)\,\cos(xy)\,\bigl(y + x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr).
Então a equação diferencial implícita é
1 = 2\,\sin(xy)\,\cos(xy)\,\bigl(y + x\,\tfrac{dy}{dx}\bigr).
Distribuindo e isolando \tfrac{dy}{dx}:
1 = 2\,y\,\sin(xy)\cos(xy) +2\,x\,\sin(xy)\cos(xy)\,\tfrac{dy}{dx},
2\,x\,\sin(xy)\cos(xy)\,\tfrac{dy}{dx} =1-2\,y\,\sin(xy)\cos(xy).

Passo 4

Dividindo por 2\,x\,\sin(xy)\cos(xy) obtemos
\tfrac{dy}{dx} =\frac{1-2\,y\,\sin(xy)\cos(xy)}{2\,x\,\sin(xy)\cos(xy)}.
Usando a identidade 2\sin(xy)\cos(xy)=\sin\bigl(2xy\bigr), pode-se escrever também
\tfrac{dy}{dx} =\frac{1-y\,\sin(2xy)}{x\,\sin(2xy)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} =\frac{1-2\,y\,\sin(xy)\cos(xy)}{2\,x\,\sin(xy)\cos(xy)} \quad\text{ou}\quad \frac{dy}{dx} =\frac{1-y\,\sin(2xy)}{x\,\sin(2xy)}.

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