Encontre \frac{d y}{d x} derivando implicitamente:
e^{x / y}=x-y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
e^{x/y} = x - y
e pede \dfrac{dy}{dx}. O conteúdo é derivação implícita, em que precisamos aplicar a regra da cadeia para e^{x/y} e a regra do quociente para x/y.

Passo 2

Vamos derivar cada lado em relação a x. No lado esquerdo, usando regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x/y}\bigr) = e^{x/y}\,\frac{d}{dx}\!\bigl(x/y\bigr).
Para \dfrac{d}{dx}(x/y) usamos a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\bigl(x/y\bigr) = \frac{y\cdot 1 - x\cdot y'}{y^2} = \frac{y - x\,y'}{y^2}.

Passo 3

No lado direito, derivando x - y obtemos
\frac{d}{dx}(x - y) = 1 - y'.

Passo 4

Igualando as derivadas:
e^{x/y}\,\frac{y - x\,y'}{y^2} = 1 - y'.
Multiplicamos ambos os lados por y^2:
e^{x/y}\,(y - x\,y') = y^2\,(1 - y').

Passo 5

Expandindo os dois lados:
e^{x/y}\,y - x\,e^{x/y}\,y' = y^2 - y^2\,y'.
Agrupamos os termos que têm y' no mesmo lado:
-\,x\,e^{x/y}\,y' + y^2\,y' = y^2 - e^{x/y}\,y.
Fatorando y':
y'\,\bigl(y^2 - x\,e^{x/y}\bigr) = y^2 - y\,e^{x/y}.

Passo 6

Por fim, isolamos y':
y' = \frac{y^2 - y\,e^{x/y}}{\,y^2 - x\,e^{x/y}\,}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - y\,e^{x/y}}{\,y^2 - x\,e^{x/y}\,}.

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