Um menino comprou 12 frutas (maçãs e laranjas). Suponha que uma maçã custa R \ 3,00 a mais do que uma laranja. Quantas maçãs e laranjas foram compradas se menino gastouçã\mathbf{R} $132,00$ reais.

Passo 1

O enunciado diz que um menino comprou 12 frutas, sendo maçãs e laranjas, e gastou um total de \text{R}\$132,00. Sabe-se também que cada maçã custa \text{R}\$3,00 a mais do que cada laranja. Vamos usar álgebra simples (sistema de equações lineares) para descobrir quantas maçãs e quantas laranjas ele comprou.

Passo 2

Definamos as vari’aveis:
x = n’umero de ma’c’as
y = n’umero de laranjas
p = pre\c{c}o de uma laranja (em reais)
Ent~ao o pre\c{c}o de uma ma’ca `e p+3.
Do enunciado temos duas equa\c{c}~oes:
\begin{cases} x + y = 12,\\[6pt] x\,(p+3) + y\,p = 132. \end{cases}]

Passo 3

Na segunda equação, distribuindo:
x\,p + 3x + y\,p = 132
Agrupando p:
p\,(x + y) + 3x = 132.
Mas x+y=12, logo
12p + 3x = 132.
Dividindo tudo por 3:
4p + x = 44 \quad\Longrightarrow\quad x = 44 - 4p.
Como y = 12 - x, temos
y = 12 - (44 - 4p) = 4p - 32.

Passo 4

Procuramos soluções inteiras não negativas para (x,y). Exigem-se
x = 44 - 4p \ge 1 \quad\text{e}\quad y = 4p - 32 \ge 1.
Isto leva a 8 \le p \le 11. Testando cada inteiro p:
  • p=8 \implies x=44-32=12,\;y=4 (todas maçãs menos laranjas)
  • p=9 \implies x=44-36=8,\;y=4
  • p=10 \implies x=44-40=4,\;y=8
  • p=11 \implies x=44-44=0,\;y=12
Para que haja ambas frutas, descartamos os casos em que x=0 ou y=0. Restam dois cenários:
1. x=8, y=4, com p=9.
2. x=4, y=8, com p=10.
Como a maçã é mais cara, faz mais sentido que o menino tenha comprado mais laranjas (mais baratas).

Resposta

O menino comprou 4 maçãs e 8 laranjas.

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