Encontre \frac{d y}{d x} derivando implicitamente.
e^{\frac{x}{y}}=x-y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^{\frac{x}{y}} = x - y
e pede \frac{dy}{dx}. O conteúdo é derivação implícita, usando regra da cadeia e derivada de quociente para \frac{x}{y}.

Passo 2

Aplicamos d/dx em ambos os lados:
\frac{d}{dx}\Bigl(e^{\frac{x}{y}}\Bigr) =\frac{d}{dx}(x - y).

Passo 3

Para o lado esquerdo usamos regra da cadeia: se u=\frac{x}{y}, então
\frac{d}{dx}\Bigl(e^u\Bigr)=e^u\frac{du}{dx}.
E
\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =\frac{y\cdot1 - x\cdot \frac{dy}{dx}}{y^2} =\frac{y - x\,y'}{y^2},
onde escrevemos y'=\frac{dy}{dx}. Logo
\frac{d}{dx}\Bigl(e^{\frac{x}{y}}\Bigr) =e^{\frac{x}{y}}\cdot\frac{y - x\,y'}{y^2}.
No lado direito,
\frac{d}{dx}(x - y)=1 - y'.

Passo 4

Igualando as derivadas:
e^{\frac{x}{y}}\;\frac{y - x\,y'}{y^2}=1 - y'.
Multiplicando tudo por y^2:
e^{\frac{x}{y}}\,(y - x\,y') = y^2(1 - y') \;\Longrightarrow\; e^{\frac{x}{y}}\,y - e^{\frac{x}{y}}\,x\,y' = y^2 - y^2\,y'.
Reagrupando termos em y':
e^{\frac{x}{y}}\,y - y^2 = y'\bigl(e^{\frac{x}{y}}\,x - y^2\bigr).

Passo 5

Isolando y':
y' = \frac{e^{\frac{x}{y}}\,y - y^2}{e^{\frac{x}{y}}\,x - y^2} = \frac{y^2 - e^{\frac{x}{y}}\,y}{y^2 - x\,e^{\frac{x}{y}}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{\frac{x}{y}}\,y - y^2}{e^{\frac{x}{y}}\,x - y^2} = \frac{y^2 - e^{\frac{x}{y}}\,y}{y^2 - x\,e^{\frac{x}{y}}}.

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