Encontre \frac{d y}{d x} para a equocio
x^{2} y+\operatorname{sen}(y)=3 x

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{2}y + \operatorname{sen}(y) = 3x
e pede \frac{dy}{dx}. O conteúdo é derivação implícita de funções de x e y, usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(y)\bigr) = \frac{d}{dx}(3x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto em x^{2}y e a regra da cadeia em \operatorname{sen}(y), obtemos
2x\,y + x^{2}\,\frac{dy}{dx} + \cos(y)\,\frac{dy}{dx} = 3.

Passo 4

Isolamos os termos que envolvem \frac{dy}{dx}:
x^{2}\,\frac{dy}{dx} + \cos(y)\,\frac{dy}{dx} = 3 - 2x\,y
e em seguida fatoramos \frac{dy}{dx}:
\bigl(x^{2} + \cos(y)\bigr)\frac{dy}{dx} = 3 - 2x\,y.

Passo 5

Por fim, isolamos \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 2x\,y}{x^{2} + \cos(y)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 2x\,y}{x^{2} + \cos(y)}

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