Calcule a integral de superfície
\iint_{\sigma} x-y-z d S
onde \sigma é a porcão do plano x+y=1 no primeiro octante entre z=0 e z=1.

Passo 1

Resumimos o enunciado: calcular
\iint_{\sigma}(x - y - z)\,dS
onde \sigma é a porção no primeiro octante do plano x+y=1 limitada por z=0 e z=1. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, que faremos parametrizando \sigma e usando o módulo do produto vetorial dos vetores tangentes.

Passo 2

Parametrizamos \sigma pelas variáveis (u,v)\in[0,1]\times[0,1] assim:
\mathbf{r}(u,v) = (\,x,y,z) = (\,1-u,\;u,\;v\,).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e seu produto vetorial:
\mathbf{r}_u = (-1,1,0), \quad \mathbf{r}_v = (0,0,1),
\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = (1,1,0), \quad \bigl|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Logo dS = \sqrt{2}\,du\,dv.

Passo 4

Na parametrização, o integrando fica
x - y - z = (1-u) - u - v = 1 - 2u - v.
Então o integral é
\iint_{\sigma}(x - y - z)\,dS = \int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1} (1 - 2u - v)\,\sqrt{2}\;du\,dv.

Passo 5

Integramos primeiro em u:
\int_{0}^{1}(1 - 2u - v)\,du = \Bigl[(1-v)u - u^2\Bigr]_{0}^{1} = (1-v) - 1 = -v.

Passo 6

Agora em v:
\int_{0}^{1}(-v)\,dv = -\frac{1}{2}.
Multiplicando pelo fator \sqrt{2} resulta
-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}.

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