Seja \sigma a superfície do cubo limitado pelos planos x= \pm 1, y= \pm 1, z= \pm 1, orientada por vetores normais unitários para fora. Em cada parte determine o fluxo de F através de \sigma
b) F(x, y, z)=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F(x,y,z)=x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+z\,\hat{\mathbf{k}}
através da superfície fechada \sigma do cubo definido por x=\pm1, y=\pm1, z=\pm1, com orientação para fora. O conteúdo a usar é o Teorema da Divergência (Gauss).

Passo 2

Compute-se a divergência de F:
\div F=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(y)+\frac{\partial}{\partial z}(z)=1+1+1=3.

Passo 3

O volume V do cubo com aresta de comprimento 2 (de -1 a 1 em cada eixo) é
V = 2 \times 2 \times 2 = 8.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através de \sigma é
\iint_{\sigma}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\div F\,dV \;=\;3\;\times\;8 \;=\;24.

Resposta

O fluxo de F através de \sigma é 24.

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