Encontre uma fórmula para f^{\prime}(x) se f(x) é descrita como indicado.
f(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right) \cot x}{3-\cos x \csc x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma fórmula para f'(x) quando
f(x)=\frac{\left(x^{2}+1\right)\cot x}{3-\cos x\csc x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função f(x) está escrita como uma razão (numerador e denominador) envolvendo polinômio em x e funções trigonométricas.
  • O objetivo é obter a expressão analítica para a derivada f'(x).

Passo 2

Estratégia inicial (pré-processamento para simplificar a escrita): lembrar uma identidade trigonométrica útil. Temos
\cos x\csc x=\cos x\cdot\frac{1}{\sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.
Substituindo essa identidade no denominador, a função fica mais simples:
f(x)=\frac{(x^{2}+1)\cot x}{3-\cot x}.
Isso facilita as contas porque agora só aparece \cot x e \csc^2 x (quando derivarmos).

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) o denominador.
  • Regra do produto: se u(x)=p(x)q(x), então
u'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
  • Derivadas trigonométricas essenciais:
\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x,\qquad \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x.
  • Derivada de polinômios: \dfrac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Identificar u(x) e v(x) para aplicar a regra do quociente:
u(x)=(x^{2}+1)\cot x,\qquad v(x)=3-\cot x.
Primeiro calculemos u'(x) usando a regra do produto com p(x)=x^{2}+1 e q(x)=\cot x.
  • p'(x)=2x.
  • q'(x)=\dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
    Aplicando produto:
u'(x)=2x\cdot\cot x + (x^{2}+1)\cdot(-\csc^{2}x)=2x\cot x-(x^{2}+1)\csc^{2}x.

Passo 5

Agora calculemos v'(x). Como v(x)=3-\cot x e 3 é constante,
v'(x)=0-\frac{d}{dx}\cot x = -(-\csc^{2}x)=\csc^{2}x.

Passo 6

Aplicar a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(x)=\frac{\big(2x\cot x-(x^{2}+1)\csc^{2}x\big)\,(3-\cot x)-(x^{2}+1)\cot x\cdot\csc^{2}x}{(3-\cot x)^{2}}.

Passo 7

Fazer a simplificação algébrica do numerador passo a passo para deixar a forma mais limpa.
Numerador:
\begin{aligned} N &= \big(2x\cot x-(x^{2}+1)\csc^{2}x\big)(3-\cot x)-(x^{2}+1)\cot x\csc^{2}x\\[4pt] &= 2x\cot x(3-\cot x)-(x^{2}+1)\csc^{2}x(3-\cot x)-(x^{2}+1)\cot x\csc^{2}x. \end{aligned}
Agrupando os dois últimos termos que têm fator (x^{2}+1)\csc^{2}x:
-(x^{2}+1)\csc^{2}x(3-\cot x)-(x^{2}+1)\cot x\csc^{2}x =-(x^{2}+1)\csc^{2}x\big(3-\cot x+\cot x\big).
Como -\cot x+\cot x=0, isso fica simplesmente
-(x^{2}+1)\csc^{2}x\cdot 3 = -3(x^{2}+1)\csc^{2}x.
Portanto o numerador reduz para
N=2x\cot x(3-\cot x)-3(x^{2}+1)\csc^{2}x.
Logo a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{2x\cot x(3-\cot x)-3(x^{2}+1)\csc^{2}x}{(3-\cot x)^{2}}.]

Resposta

f'(x)=\frac{2x\cot x(3-\cot x)-3(x^{2}+1)\csc^{2}x}{(3-\cot x)^{2}}

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