Encontre uma fórmula para
se
é descrita como indicado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma fórmula para
quando
Informações relevantes dadas:
- A função
está escrita como uma razão (numerador e denominador) envolvendo polinômio em e funções trigonométricas. - O objetivo é obter a expressão analítica para a derivada
.
Passo 2
Estratégia inicial (pré-processamento para simplificar a escrita): lembrar uma identidade trigonométrica útil. Temos
Substituindo essa identidade no denominador, a função fica mais simples:
Isso facilita as contas porque agora só aparece
e
(quando derivarmos).
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra do quociente: se
, então
Aqui
é o numerador e
o denominador.
- Regra do produto: se
, então
- Derivadas trigonométricas essenciais:
- Derivada de polinômios:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Identificar
e
para aplicar a regra do quociente:
Primeiro calculemos
usando a regra do produto com
e
.
-
. -
.
Aplicando produto:
Passo 5
Agora calculemos
. Como
e
é constante,
Passo 6
Aplicar a regra do quociente:
Substituindo
obtidos:
Passo 7
Fazer a simplificação algébrica do numerador passo a passo para deixar a forma mais limpa.
Numerador:
Agrupando os dois últimos termos que têm fator
:
Como
, isso fica simplesmente
Portanto o numerador reduz para
Logo a derivada simplificada é