Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em relação a
, onde a função dada é
Informações relevantes: temos a soma (na verdade diferença) de duas funções — a primeira é o produto de
por
e a segunda é a função trigonométrica
aplicada a
. Precisamos calcular
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Derivada da exponencial: a derivada de
é . Ou seja,
- Regra do produto: se
, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
.
- Regra da cadeia: se temos
, então
Ou seja, derivamos a função externa
avaliando em
e multiplicamos pela derivada da função interna
.
- Derivada da tangente: se
, então
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto à primeira parcela
. Tome
e
. Calculamos:
Pela regra do produto,
Passo 4
Fatorando
na expressão anterior para simplificar (isso ajuda a deixar a resposta mais bonita):
Observação: também podemos escrever
, ambas são equivalentes.
Passo 5
Agora derivamos a segunda parcela
. Usamos regra da cadeia com
e
.
Primeiro, a derivada de é
.
Depois, a derivada da interna é
Primeiro, a derivada de
Depois, a derivada da interna é
Portanto, pela regra da cadeia,
Como no
essa parcela aparece com sinal negativo, a contribuição para
é
Passo 6
Somando as duas contribuições (derivada da primeira parcela menos derivada da segunda parcela), obtemos
Se quiser, podemos escrever de forma fatorada como
Ambas as formas estão corretas; a primeira é direta da conta, a segunda é apenas uma manipulação algébrica.