Encontre \frac{d y}{d x}.
y=x^{2} e^{x}-\tan \left(4 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y em relação a x, onde a função dada é
y = x^{2} e^{x} - \tan\left(4x^{2}\right).
Informações relevantes: temos a soma (na verdade diferença) de duas funções — a primeira é o produto de x^{2} por e^{x} e a segunda é a função trigonométrica \tan aplicada a 4x^{2}. Precisamos calcular \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Derivada da exponencial: a derivada de e^{x} é e^{x}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right)=e^{x}.
  • Regra do produto: se f(x)=u(x)\cdot v(x), então
\frac{d}{dx}f(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e v'(x) a derivada de v.
  • Regra da cadeia: se temos h(x)=g(k(x)), então
\frac{d}{dx}h(x)=g'(k(x))\cdot k'(x).
Ou seja, derivamos a função externa g avaliando em k(x) e multiplicamos pela derivada da função interna k.
  • Derivada da tangente: se g(u)=\tan(u), então
g'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Usando a regra da cadeia, a derivada de \tan(k(x)) é \operatorname{sec}^{2}(k(x))\cdot k'(x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto à primeira parcela x^{2} e^{x}. Tome u(x)=x^{2} e v(x)=e^{x}. Calculamos:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)=2x,
v'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right)=e^{x}.
Pela regra do produto,
\frac{d}{dx}\left(x^{2}e^{x}\right)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}.

Passo 4

Fatorando e^{x} na expressão anterior para simplificar (isso ajuda a deixar a resposta mais bonita):
2x\cdot e^{x}+x^{2}\cdot e^{x}=e^{x}\left(2x+x^{2}\right).
Observação: também podemos escrever e^{x}\left(x^{2}+2x\right)=x e^{x}(x+2), ambas são equivalentes.

Passo 5

Agora derivamos a segunda parcela -\tan\left(4x^{2}\right). Usamos regra da cadeia com g(u)=\tan(u) e u(x)=4x^{2}.
Primeiro, a derivada de g é g'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).
Depois, a derivada da interna é
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(4x^{2}\right)=8x.
Portanto, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\tan\left(4x^{2}\right)\right)=\operatorname{sec}^{2}\left(4x^{2}\right)\cdot 8x = 8x\,\operatorname{sec}^{2}\left(4x^{2}\right).
Como no y essa parcela aparece com sinal negativo, a contribuição para \dfrac{dy}{dx} é
-8x\,\operatorname{sec}^{2}\left(4x^{2}\right).

Passo 6

Somando as duas contribuições (derivada da primeira parcela menos derivada da segunda parcela), obtemos
\frac{d y}{d x}=e^{x}\left(2x+x^{2}\right)-8x\,\operatorname{sec}^{2}\left(4x^{2}\right).
Se quiser, podemos escrever de forma fatorada como
\frac{d y}{d x}=x e^{x}\left(x+2\right)-8x\,\operatorname{sec}^{2}\left(4x^{2}\right).
Ambas as formas estão corretas; a primeira é direta da conta, a segunda é apenas uma manipulação algébrica.

Resposta

\frac{d y}{d x}=e^{x}\left(2x+x^{2}\right)-8x\,\operatorname{sec}^{2}\left(4x^{2}\right)

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