Encontre \frac{d y}{d x}.
y=\left(x^{2}+1\right)^{25}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} da função
y=\left(x^{2}+1\right)^{25}.
Informações dadas importantes:
\text{a função é }y=(x^{2}+1)^{25}.çãé
O que se pede: calcular a derivada \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Vamos simplificar a visualização usando uma substituição temporária: defina
u = x^{2}+1.
Então a função fica y = u^{25}. Esta reescrita não resolve tudo sozinha, mas deixa claro que temos uma função composta: y é potência de u e u é função de x.

Passo 3

Apresentando a regra da potência (que vamos usar): se y = u^{n} com n constante e u dependente de x, então a derivada em relação a u é
\frac{d y}{d u} = n\,u^{\,n-1}.
Aqui n=25. Aplicando:
\frac{d y}{d u} = 25\,u^{24}.
Expliquei: a regra da potência diz que a gente baixa o expoente como fator e diminui o expoente em 1.

Passo 4

Agora derivamos a função interna u(x). Como u=x^{2}+1, usamos a regra da soma e a derivada de potência básica:
\frac{d u}{d x} = \frac{d}{d x}(x^{2}) + \frac{d}{d x}(1) = 2x + 0 = 2x.
Expliquei: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de constante é zero.

Passo 5

Usamos a regra da cadeia (chain rule): quando y depende de u e u depende de x,
\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u}\cdot\frac{d u}{d x}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{d y}{d x} = \big(25\,u^{24}\big)\cdot(2x).
Voltando à variável original ( u=x^{2}+1):
\frac{d y}{d x} = 25\cdot 2x\cdot (x^{2}+1)^{24} = 50x\,(x^{2}+1)^{24}.
Comentário rápido de incentivo: ficou feijão com arroz — repetindo esse procedimento em prova fica cada vez mais automático!

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=50x\,(x^{2}+1)^{24}

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