Encontre \frac{d y}{d x}.
y=\left(x^{3}+2 \ln (x)\right)\left(2^{x}+\operatorname{sec} (x)\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} da função
y=\left(x^{3}+2\ln(x)\right)\left(2^{x}+\operatorname{sec}(x)\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função está escrita como produto de duas expressões: \left(x^{3}+2\ln(x)\right) e \left(2^{x}+\operatorname{sec}(x)\right).
  • Observação sobre domínio (importante para saber onde a função e a derivada existem): \ln(x) exige x>0; \operatorname{sec}(x) exige \cos(x)\neq0, ou seja, x\neq \tfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}.
  • Pedido: calcular \dfrac{d y}{d x} explicitamente.

Passo 2

Estratégia (explicando a fórmula que vamos usar): quando uma função é produto de duas funções, y=u(x)\,v(x), a derivada é dada pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x) são as duas expressões que multiplicam uma à outra.
  • u'(x) é a derivada de u(x) em relação a x.
  • v'(x) é a derivada de v(x) em relação a x.
    Vamos aplicar isso com
u(x)=x^{3}+2\ln(x),\qquad v(x)=2^{x}+\operatorname{sec}(x).

Passo 3

Calcular u'(x) passo a passo.
  • Derivada de \,x^{3}: usamos a regra do poder (power rule). Para \,x^{n}, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n=3, então
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada de \,2\ln(x): constante 2 multiplicando \ln(x). A derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x}. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(2\ln(x)\bigr)=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Somando os dois termos,
u'(x)=3x^{2}+\frac{2}{x}.

Passo 4

Calcular v'(x) passo a passo.
  • Derivada de \,2^{x}: usamos a regra para exponencial de base a>0. Escrevemos 2^{x}=e^{x\ln 2}. Derivando e^{x\ln 2} obtemos e^{x\ln 2}\cdot\ln 2, ou seja
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
(Em geral \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.)
  • Derivada de \,\operatorname{sec}(x): escrevemos \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}=\cos(x)^{-1} e aplicamos a regra da cadeia / poder:
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)^{-1}\bigr)=-1\cdot\cos(x)^{-2}\cdot(-\sin(x))=\frac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}.
Agora reconhecemos que \dfrac{\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=\operatorname{sec}(x)\tan(x). Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Somando os dois termos,
v'(x)=2^{x}\ln 2+\operatorname{sec}(x)\tan(x).

Passo 5

Aplicar a regra do produto: \dfrac{d y}{d x}=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u(x),u'(x),v(x),v'(x) obtidos:
\frac{d y}{d x}=\left(3x^{2}+\frac{2}{x}\right)\left(2^{x}+\operatorname{sec}(x)\right)+\left(x^{3}+2\ln(x)\right)\left(2^{x}\ln 2+\operatorname{sec}(x)\tan(x)\right).

Passo 6

Conferência e comentários finais didáticos:
  • Cada termo é produto de uma derivada parcial pelo outro fator original, como manda a regra do produto.
  • Dá para distribuir e reescrever se você quiser expandir, mas a forma fatorada acima é limpa e evidente para a prova.
  • Lembrete prático para aplicação rápida na prova: compute as derivadas das duas “partes” separadamente (aqui u' e v'), depois monte u'v+uv'. Não esqueça as derivadas especiais: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}, \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a, \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.

Resposta

\frac{d y}{d x}=\left(3x^{2}+\frac{2}{x}\right)\left(2^{x}+\operatorname{sec}(x)\right)+\left(x^{3}+2\ln(x)\right)\left(2^{x}\ln 2+\operatorname{sec}(x)\tan(x)\right).

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