Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função está escrita como produto de duas expressões:
e . - Observação sobre domínio (importante para saber onde a função e a derivada existem):
exige ; exige , ou seja, para . - Pedido: calcular
explicitamente.
Passo 2
Estratégia (explicando a fórmula que vamos usar): quando uma função é produto de duas funções,
, a derivada é dada pela regra do produto:
Aqui cada símbolo significa:
-
e são as duas expressões que multiplicam uma à outra. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Vamos aplicar isso com
Passo 3
Calcular
passo a passo.
- Derivada de
: usamos a regra do poder (power rule). Para , . Aqui , então
- Derivada de
: constante multiplicando . A derivada de é . Assim
Somando os dois termos,
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Derivada de
: usamos a regra para exponencial de base . Escrevemos . Derivando obtemos , ou seja
(Em geral
.)
- Derivada de
: escrevemos e aplicamos a regra da cadeia / poder:
Agora reconhecemos que
. Portanto
Somando os dois termos,
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
.
Substituindo obtidos:
Substituindo
Passo 6
Conferência e comentários finais didáticos:
- Cada termo é produto de uma derivada parcial pelo outro fator original, como manda a regra do produto.
- Dá para distribuir e reescrever se você quiser expandir, mas a forma fatorada acima é limpa e evidente para a prova.
- Lembrete prático para aplicação rápida na prova: compute as derivadas das duas “partes” separadamente (aqui
e ), depois monte . Não esqueça as derivadas especiais: , , .