Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a derivada
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é escrita em termos de
, mas o lado direito não contém a variável explicitamente. -
e são constantes matemáticas: é a base dos logaritmos naturais e é a razão da circunferência pelo diâmetro. -
significa a função seno (vou usar a notação nas fórmulas).
A pergunta é única: calcular.
Passo 2
Conceito-chave: a derivada
mede a taxa de variação de
em relação a
. Se
for uma constante (não depende de
), então a taxa de variação é zero porque a função não muda quando
varia. Vou mostrar isso de forma formal usando a definição do limite da derivada.
Definição (limite): para
qualquer, a derivada em
é
Se
(constante), então
e
, logo o numerador é
e
Portanto, qualquer função constante tem derivada zero.
Passo 3
Regra de derivação usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
onde
e
dependem (ou não) de
. Vou aplicar essa regra à nossa
. Primeiro, note que cada parcela da soma é, na verdade, uma constante em relação a
:
-
é de uma constante ( ), então é uma constante. -
é claramente uma constante.
Passo 4
Duas maneiras de ver que a derivada de
é zero:
-
Pela observação direta:
não depende de , logo é constante; a derivada de uma constante é (veja Passo 2). -
Usando a regra da cadeia como verificação: se tivéssemos
então
Aqui,
é uma função constante (não depende de
), então
. Portanto
Para a segunda parcela,
, é uma constante numérica, então pela regra do Passo 2
Passo 5
Resumo das derivadas parciais calculadas:
Pelo fato de a derivada da soma ser a soma das derivadas, basta somar esses resultados para obter a derivada total (a conclusão final aparece apenas na seção de resposta, como pedido).