Encontre \frac{d y}{d x} por derivação implícita:
x+\ln \left(x^{2} y\right)+3 y^{2}=2 x^{2}-1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x+\ln\bigl(x^{2}y\bigr)+3y^{2}=2x^{2}-1
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}. Vamos usar derivação implícita, aplicando regra da soma, regra da cadeia e a derivada de logaritmo.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos
\ln\bigl(x^{2}y\bigr)=2\ln x+\ln y
e derivamos ambos os lados de
x+\bigl(2\ln x+\ln y\bigr)+3y^{2}=2x^{2}-1
em relação a x.
Derivando termo a termo:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(x)=1.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(2\ln x+\ln y\bigr)=2\cdot\frac1x+\frac1y\frac{dy}{dx}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(3y^{2})=6y\frac{dy}{dx}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(2x^{2}-1)=4x.

Passo 3

Agrupando tudo na equação de derivadas, obtemos
1+\Bigl(2\cdot\frac1x+\frac1y\frac{dy}{dx}\Bigr)+6y\frac{dy}{dx}=4x.

Passo 4

Isolamos os termos com \displaystyle \frac{dy}{dx}:
\frac1y\frac{dy}{dx}+6y\frac{dy}{dx} =4x-1-\frac{2}{x},
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\Bigl(\frac1y+6y\Bigr)\frac{dy}{dx} =4x-1-\frac{2}{x}.
Portanto
\frac{dy}{dx} =\frac{4x-1-\tfrac{2}{x}}{\frac1y+6y} =\frac{y\bigl(4x-1-\tfrac{2}{x}\bigr)}{1+6y^{2}}.

Resposta

\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{y\bigl(4x-1-\tfrac{2}{x}\bigr)}{1+6y^{2}}.}

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