Encontre \frac{d y}{d x}.
y=e^{x^{2}}-\cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y em relação a x. As informações dadas são:
y = e^{x^{2}} - \cos(4x).
Pergunta explícita: encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro conceito que vamos usar: linearidade da derivada. Ela diz que a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x).
No nosso caso vamos derivar termo a termo:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(\cos(4x)\bigr).

Passo 3

Agora a regra para a função exponencial composta: se temos uma função composta \,e^{u(x)}, a derivada é
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isto é um caso do chamado “regra da cadeia”: há uma função externa e^{(\cdot)} e uma função interna u(x). Precisamos derivar a externa mantendo a interna e multiplicar pela derivada da interna.

Passo 4

Aplique isso ao primeiro termo com u(x)=x^{2}. Então u'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr)=e^{x^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}}.
Expliquei: peguei a exponencial como externa e o x^{2} como interna, derivei a interna dando 2x e multipliquei.

Passo 5

Agora a regra para o cosseno composto: se temos \cos(u(x)), a derivada é
\frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\cdot u'(x).
Novamente é a regra da cadeia: derivamos a função externa \cos (que dá -\sin) e multiplicamos pela derivada da interna.

Passo 6

No termo \cos(4x) a parte interna é u(x)=4x, cuja derivada é u'(x)=4. Então
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(4x)\bigr) = -\sin(4x)\cdot 4 = -4\sin(4x).
Como no y esse termo aparece subtraído, temos que derivar -\cos(4x). Assim
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos(4x)\bigr) = -\bigl(-4\sin(4x)\bigr)=4\sin(4x).
(ou seja: a derivada de \cos(4x) é -4\sin(4x), e o menos na frente vira mais).

Passo 7

Agora somamos os resultados dos dois termos, pela linearidade:
\frac{dy}{dx}=2x\,e^{x^{2}} + 4\sin(4x).
Pronto — temos a derivada completa.

Resposta

\frac{dy}{dx}=2x\,e^{x^{2}}+4\sin(4x)

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