Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
em relação a
. As informações dadas são:
Pergunta explícita: encontrar
.
Passo 2
Primeiro conceito que vamos usar: linearidade da derivada. Ela diz que a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Em fórmulas:
No nosso caso vamos derivar termo a termo:
Passo 3
Agora a regra para a função exponencial composta: se temos uma função composta
, a derivada é
Isto é um caso do chamado “regra da cadeia”: há uma função externa
e uma função interna
. Precisamos derivar a externa mantendo a interna e multiplicar pela derivada da interna.
Passo 4
Aplique isso ao primeiro termo com
. Então
. Portanto
Expliquei: peguei a exponencial como externa e o
como interna, derivei a interna dando
e multipliquei.
Passo 5
Agora a regra para o cosseno composto: se temos
, a derivada é
Novamente é a regra da cadeia: derivamos a função externa
(que dá
) e multiplicamos pela derivada da interna.
Passo 6
No termo
a parte interna é
, cuja derivada é
. Então
Como no
esse termo aparece subtraído, temos que derivar
. Assim
(ou seja: a derivada de
é
, e o menos na frente vira mais).
Passo 7
Agora somamos os resultados dos dois termos, pela linearidade:
Pronto — temos a derivada completa.