Calcule
, onde
é a região do plano
limitada pelas parábolas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do plano limitada pelas três parábolas
Informações dadas que são relevantes:
As três curvas são dadas explicitamente como funções
.\n
A região
é a porção do plano delimitada por essas três curvas (ou seja, a fronteira de
é formada por trechos dessas parábolas).\n
A integral a calcular envolve a função integranda
, que depende só de
.\n
O objetivo final é obter o valor numérico de .
O objetivo final é obter o valor numérico de
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas para entender a forma e os limites em
da região
. Igualamos pares de expressões para
.
Interseção entre
e
:
Nesses pontos
. Logo interseções em
e
.
Interseção entre
e
:
Nesses pontos
. Logo interseções em
e
.
Interseção entre
e
:
não tem solução real. Portanto essas duas curvas não se cruzam no plano real.
Conclusão desta análise: as interseções reais relevantes ocorrem em
(entre as duas primeiras curvas) e em
(entre a primeira e a terceira). Assim a região
está contida entre
e
. Observação importante: todas as curvas dependem apenas de
, então são simétricas em relação ao eixo
.
Passo 3
Mostro que
é simétrica em relação ao eixo
. Por que? Cada equação é função de
:
Se um ponto
satisfaz uma dessas equações, então
também satisfaz, pois
. Consequentemente, a fronteira de
é simétrica em relação ao eixo
, e portanto a própria região
é simétrica: para todo
temos
.
Passo 4
Vou usar a simetria para avaliar a integral. Primeiro, uma observação sobre a integranda: a função
é uma função ímpar em
, isto é,
Agora decomponho
em duas metades simétricas:
Então
Faço a mudança de variável
no integrando sobre
. Essa mudança reflete
em relação ao eixo
e transforma
em
; o elemento de área
é preservado (o valor absoluto do jacobiano é
). Assim
Somando as duas metades:
Intuição: cada ponto
em
contribui
e o ponto espelhado
em
contribui
; as contribuições se cancelam.
Passo 5
Só para consolidar: não precisamos montar os limites explícitos da integral em termos de
e
nem calcular antiderivadas porque o cancelamento por simetria já garante o valor exato. A simetria decorre das equações das fronteiras dependerem apenas de
, e a integranda ser ímpar em
.
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