Calcule \iint_{D} y d x d y, onde D é a região do plano x y limitada pelas parábolas x=y^{2}-1, \quad x= 1-y^{2}, \quad e \quad x=4-y^{2} / 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} y\,dx\,dy,
onde D é a região do plano limitada pelas três parábolas
x = y^{2}-1,\qquad x = 1-y^{2},\qquad x = 4-\frac{y^{2}}{4}.
Informações dadas que são relevantes:
\,1. As três curvas são dadas explicitamente como funções x=f(y).\n
\,2. A região D é a porção do plano delimitada por essas três curvas (ou seja, a fronteira de D é formada por trechos dessas parábolas).\n
\,3. A integral a calcular envolve a função integranda y, que depende só de y.\n
O objetivo final é obter o valor numérico de \iint_{D} y\,dx\,dy.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas para entender a forma e os limites em y da região D. Igualamos pares de expressões para x.
Interseção entre x=y^{2}-1 e x=1-y^{2}:
y^{2}-1 = 1-y^{2}\implies 2y^{2}=2\implies y^{2}=1\implies y=\pm 1.
Nesses pontos x=y^{2}-1=1-1=0. Logo interseções em (0,1) e (0,-1).
Interseção entre x=y^{2}-1 e x=4-\dfrac{y^{2}}{4}:
y^{2}-1 = 4-\frac{y^{2}}{4}\implies y^{2}+\frac{y^{2}}{4}=5\implies \frac{5}{4}y^{2}=5\implies y^{2}=4\implies y=\pm 2.
Nesses pontos x=y^{2}-1=4-1=3. Logo interseções em (3,2) e (3,-2).
Interseção entre x=1-y^{2} e x=4-\dfrac{y^{2}}{4}:
1-y^{2}=4-\frac{y^{2}}{4}\implies -y^{2}+\frac{y^{2}}{4}=3\implies -\frac{3}{4}y^{2}=3\implies y^{2}=-4,
não tem solução real. Portanto essas duas curvas não se cruzam no plano real.
Conclusão desta análise: as interseções reais relevantes ocorrem em y=\pm 1 (entre as duas primeiras curvas) e em y=\pm 2 (entre a primeira e a terceira). Assim a região D está contida entre y=-2 e y=2. Observação importante: todas as curvas dependem apenas de y^{2}, então são simétricas em relação ao eixo x.

Passo 3

Mostro que D é simétrica em relação ao eixo x. Por que? Cada equação é função de y^{2}: \;x=y^{2}-1,\;x=1-y^{2},\;x=4-\dfrac{y^{2}}{4}. Se um ponto (x,y) satisfaz uma dessas equações, então (x,-y) também satisfaz, pois (-y)^{2}=y^{2}. Consequentemente, a fronteira de D é simétrica em relação ao eixo x, e portanto a própria região D é simétrica: para todo (x,y)\in D temos (x,-y)\in D.

Passo 4

Vou usar a simetria para avaliar a integral. Primeiro, uma observação sobre a integranda: a função g(y)=y é uma função ímpar em y, isto é,
g(-y)=-y = -g(y).
Agora decomponho D em duas metades simétricas:
D^{+}=\{(x,y)\in D:\; y\ge 0\},\qquad D^{-}=\{(x,y)\in D:\; y\le 0\}.
Então
\iint_{D} y\,dx\,dy = \iint_{D^{+}} y\,dx\,dy + \iint_{D^{-}} y\,dx\,dy.
Faço a mudança de variável (x,y)\mapsto (x,-y) no integrando sobre D^{-}. Essa mudança reflete D^{-} em relação ao eixo x e transforma D^{-} em D^{+}; o elemento de área dx\,dy é preservado (o valor absoluto do jacobiano é 1). Assim
\iint_{D^{-}} y\,dx\,dy = \iint_{D^{+}} (-y)\,dx\,dy = -\iint_{D^{+}} y\,dx\,dy.
Somando as duas metades:
\iint_{D} y\,dx\,dy = \iint_{D^{+}} y\,dx\,dy + \bigl(-\iint_{D^{+}} y\,dx\,dy\bigr) = 0.
Intuição: cada ponto (x,y) em D^{+} contribui y e o ponto espelhado (x,-y) em D^{-} contribui -y; as contribuições se cancelam.

Passo 5

Só para consolidar: não precisamos montar os limites explícitos da integral em termos de y e x nem calcular antiderivadas porque o cancelamento por simetria já garante o valor exato. A simetria decorre das equações das fronteiras dependerem apenas de y^{2}, e a integranda ser ímpar em y.

Resposta

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