Encontre a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
a) 3,282828 \ldots
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a fração geratriz da dízima periódica 3{,}282828\ldots.
Informações dadas:
O número é 3{,}282828\ldots.
Após a vírgula os algarismos que se repetem formam o bloco 28.
O bloco periódico tem comprimento k=2.
Não há parte decimal não-periódica antes do período (ou seja, a repetição começa imediatamente após a vírgula).
Passo 2
Defino a incógnita igual ao número dado:
x = 3{,}282828\ldots
Explicação didática: a ideia é usar álgebra para “alinhavar” as repetições. Como o período tem 2 dígitos, multiplicamos x por 10^{2}=100 para deslocar a vírgula duas casas e deixar a parte periódica alinhada com a de x.
Passo 3
Multiplico por 100 e escrevo as duas expressões para subtrair:
100x = 328{,}282828\ldots
x = 3{,}282828\ldots
Note que as partes decimais 0{,}282828\ldots em ambas as linhas são iguais — por isso a subtração elimina a parte periódica.
Passo 4
Faço a subtração termo a termo:
100x - x = 328{,}282828\ldots - 3{,}282828\ldots
99x = 325
Agora isolo x:
x = \frac{325}{99}
Passo 5
Verifico se a fração pode ser simplificada. Fatores:
325 = 5^{2}\cdot 13,\qquad 99 = 3^{2}\cdot 11.
Não há fatores comuns, portanto \dfrac{325}{99} está irredutível. Conclusão: a fração geratriz é \dfrac{325}{99}.
Passo 6
Método alternativo (didático): separar parte inteira e parte periódica.
3{,}\overline{28}=3+0{,}\overline{28}.
Calculo 0{,}\overline{28} rapidamente: seja y=0{,}282828\ldots. Multiplicando por 100 e subtraindo dá 99y=28, logo y=28/99. Assim
Checagem por divisão (para ver o período aparecer): dividir 325 por 99:
99\cdot3=297\quad\Rightarrow\text{resto }28.
Resto 28 gera as casas decimais: 28\to280 dá quociente 2 (resto 82); 82\to820 dá quociente 8 (resto 28) e o ciclo repete 28,82,28,\dots, produzindo exatamente 3{,}282828\ldots.
Passo 8
Regra geral (para você decorar): se o número tem parte inteira a, parte não periódica de comprimento m e bloco periódico b com comprimento k, então
x = a + \frac{b}{10^{m}\left(10^{k}-1\right)}.
Aqui a=3, m=0, b=28, k=2 e obtemos \dfrac{325}{99}. Essa fórmula vem do mesmo truque de multiplicar por potências de 10 e subtrair para eliminar a repetição.
Força nos estudos — você já sabe o método: identificar o período, multiplicar para alinhar e subtrair. Dá pra aplicar rápido na prova.