Encontre a função
para que a equação abaixo se transforme em uma Equação Exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função
diferente de zero que transforme a equação dada em uma Equação Exata. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente às equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar essa função
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação fornecida de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Podemos reorganizar essa expressão para a forma padrão de uma equação diferencial:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos entender o que faz uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Usando a regra do produto para derivar em relação a
:
Passo 6
Para que a equação seja exata, devemos ter:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 7
Vamos organizar essa equação para isolar
. Primeiro, observe que os termos com
podem ser comparados:
Isso implica que:
Passo 8
Agora temos uma equação diferencial simples para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
Onde
é uma constante de integração. Como
, podemos escolher
para simplificar.
Resposta
A função que torna a equação exata é: