Encontre a função alpha(x) neq 0 para que a equação abaixo se transforme em uma Equação Exata.
alpha(x)(3 x^2 y+2 x y+y^3)+alpha(x)(x^2+y^2) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função alpha(x) diferente de zero que transforme a equação dada em uma Equação Exata. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente às equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar essa função alpha(x).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação fornecida de uma forma mais familiar. A equação dada é:
alpha(x)(3 x^2 y + 2 x y + y^3) + alpha(x)(x^2 + y^2) y' = 0
Podemos reorganizar essa expressão para a forma padrão de uma equação diferencial:
M(x, y) + N(x, y) y' = 0
Onde:
  • M(x, y) = alpha(x)(3 x^2 y + 2 x y + y^3)
  • N(x, y) = alpha(x)(x^2 + y^2)

Passo 3

Agora, precisamos entender o que faz uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x, ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de M em relação a y:
M(x, y) = alpha(x)(3 x^2 y + 2 x y + y^3)
Derivando em relação a y:
partial Mpartial y = alpha(x)(3x^2 + 2x + 3y^2)

Passo 5

Agora, calculando a derivada parcial de N em relação a x:
N(x, y) = alpha(x)(x^2 + y^2)
Usando a regra do produto para derivar em relação a x:
partial Npartial x = alpha'(x)(x^2 + y^2) + alpha(x)(2x)

Passo 6

Para que a equação seja exata, devemos ter:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Substituindo as derivadas que calculamos:
alpha(x)(3x^2 + 2x + 3y^2) = alpha'(x)(x^2 + y^2) + alpha(x)(2x)

Passo 7

Vamos organizar essa equação para isolar alpha'(x). Primeiro, observe que os termos com y^2 podem ser comparados:
3alpha(x) y^2 = alpha'(x) y^2
Isso implica que:
3alpha(x) = alpha'(x)

Passo 8

Agora temos uma equação diferencial simples para alpha(x):
alpha'(x) = 3alpha(x)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral dessa equação é:
alpha(x) = C e^3x
Onde C é uma constante de integração. Como alpha(x) neq 0, podemos escolher C = 1 para simplificar.

Resposta

A função que torna a equação exata é:
alpha(x) = e^3x

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