Resolva:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado traz cinco equações diferenciais de tipos diferentes: a) uma que, apesar de não ser exata, admite separação de variáveis; b) uma equação exata de primeira ordem com condição inicial; c) uma Bernoulli de grau 3; d) uma segunda ordem que envolve apenas y’’ e y’; e) uma linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Para resolvê-las, vamos usar teste de exatidão, separação de variáveis, fator integrante, a substituição de Bernoulli, redução de ordem e o método da equação característica.
Passo 2
Na parte (a) escrevemos a equação como
e reorganizamos em
Passo 3
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Isso leva a
Passo 5
Na parte (b) passamos para a forma exata:
Passo 6
Identificamos
Passo 7
e conferimos
Passo 8
logo é exata. Procuramos Φ tal que Φ_x=M e Φ_y=N:
Passo 9
Como Φ_y deve ser N, obtemos h’(y)=0 e a solução implícita é
Passo 10
Aplicando y(1)=1 dá C=-2, ou
Passo 11
Na parte © temos uma Bernoulli:
Passo 12
Dividimos por y^3 e definimos v=y^{-2}:
Passo 13
A equação em v é linear:
Passo 14
Multiplicando e integrando:
Passo 15
Volta a y:
Passo 16
Na parte (d) reduzimos a ordem definindo p=y’:
Passo 17
Integrando:
Passo 18
Outra integração dá
Passo 19
Na parte (e) resolvemos
Passo 20
pelos coeficientes constantes. A característica
Passo 21
tem raiz dupla r=-1, logo
Passo 22
Impondo y(0)=-2 e y’(0)=-3, achamos C_1=-2 e C_2=-5, ficando
Resposta
a)
. b)
. c)
. d)
. e)
.