Resolva:
a) sen x cos y d x-cos x sen y d y=0.
b) (1x^2+3 y^2x^4) d x=2 yx^3 d y, y(1)=1.
c) y^prime+x y=x^3 y^3.
d) y^prime prime=12 y^prime.
e) y^prime prime+2 y^prime+y=0, y(0)=-2, y^prime(0)=-3.

Passo 1

O enunciado traz cinco equações diferenciais de tipos diferentes: a) uma que, apesar de não ser exata, admite separação de variáveis; b) uma equação exata de primeira ordem com condição inicial; c) uma Bernoulli de grau 3; d) uma segunda ordem que envolve apenas y’’ e y’; e) uma linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais. Para resolvê-las, vamos usar teste de exatidão, separação de variáveis, fator integrante, a substituição de Bernoulli, redução de ordem e o método da equação característica.

Passo 2

Na parte (a) escrevemos a equação como
sin xcos y,dx-cos xsin y,dy=0
e reorganizamos em
sin xcos y,dx=cos xsin y,dyLongrightarrowtan x,dx=tan y,dy

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integraltan x,dx=integraltan y,dyLongrightarrow -ln|cos x|=-ln|cos y|+C

Passo 4

Isso leva a
lncos ycos x=Coucos y=C1cos x

Passo 5

Na parte (b) passamos para a forma exata:
l(1x^2+3y^2x^4r)dx-2yx^3dy=0

Passo 6

Identificamos
M(x,y)=1x^2+3y^2x^4, N(x,y)=-2yx^3,

Passo 7

e conferimos
partial Mpartial y=6yx^4,partial Npartial x=6yx^4,

Passo 8

logo é exata. Procuramos Φ tal que Φ_x=M e Φ_y=N:
Φ(x,y)=integrall(1x^2+3y^2x^4r)dx=-1x-y^2x^3+h(y)

Passo 9

Como Φ_y deve ser N, obtemos h’(y)=0 e a solução implícita é
-1x-y^2x^3=C

Passo 10

Aplicando y(1)=1 dá C=-2, ou
1x+y^2x^3=2Longrightarrow y^2=2x^3-x^2Longrightarrow y=xraiz2x-1,(x>=tfrac12)

Passo 11

Na parte © temos uma Bernoulli:
y' +xy=x^3y^3

Passo 12

Dividimos por y^3 e definimos v=y^{-2}:
ddx(y^-2)-2x,y^-2=-2x^3

Passo 13

A equação em v é linear:
v'-2xv=-2x^3,mu(x)=e^-x^2

Passo 14

Multiplicando e integrando:
ddx(ve^-x^2)=-2x^3e^-x^2 Longrightarrow v e^-x^2=(x^2+1)e^-x^2+C

Passo 15

Volta a y:
y^-2=x^2+1+Ce^x^2

Passo 16

Na parte (d) reduzimos a ordem definindo p=y’:
p'=tfrac12p Longrightarrow 2p,dp=dx

Passo 17

Integrando:
p^2=x+C1 Longrightarrow p=y'=pmraizx+C1

Passo 18

Outra integração dá
y=pm23(x+C1)^3/2+C2

Passo 19

Na parte (e) resolvemos
y''+2y'+y=0

Passo 20

pelos coeficientes constantes. A característica
r^2+2r+1=0

Passo 21

tem raiz dupla r=-1, logo
y=(C1+C2x)e^-x

Passo 22

Impondo y(0)=-2 e y’(0)=-3, achamos C_1=-2 e C_2=-5, ficando
y=-(2+5x)e^-x

Resposta

a) cos y=C,cos x. b) y=xraiz2x-1. c) y^-2=x^2+1+Ce^x^2. d) y=pm23(x+C1)^3/2+C2. e) y=-(2+5x)e^-x.

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