(i) Encontre uma solução não nula,
, de
.
(ii) Encontre todas as funções
de maneira que
é solução de
.
(ii) Encontre todas as funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes:
Parte (i): Encontrar uma solução não nula
para a equação diferencial
.
Parte (ii): Encontrar todas as funções
de modo que
seja solução da equação
.
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e como encontrar soluções gerais e específicas. Vamos lá!
Passo 2
Parte (i): Vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea
.
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método de separação de variáveis ou reconhecer que é uma equação com solução exponencial. Vou mostrar o método de separação de variáveis.
Reescrevemos a equação como:
Agora, separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Integrando ambos os lados:
A integral de
é
, e a de
é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Como
é apenas uma constante qualquer (vamos chamar de
), podemos escrever:
Essa é a solução geral da equação homogênea. Mas como queremos uma solução não nula, basta escolher
.
Passo 5
Então, uma solução não nula
é:
Passo 6
Parte (ii): Agora, queremos encontrar todas as funções
tal que
seja solução da equação não homogênea
.
Vamos substituir
na equação e resolver para
.
Passo 7
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na equação diferencial:
Queremos que isso seja igual a
:
Passo 9
Podemos cancelar
dos dois lados (desde que
, o que é sempre verdadeiro):
Agora, precisamos integrar para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
Portanto, todas as funções
que tornam
solução da equação
são:
Onde
é uma constante real qualquer.