(i) Encontre uma solução não nula, y1(x), de y^prime-2 y=0.
(ii) Encontre todas as funções A(x) de maneira que y(x)=A(x) y1(x) é solução de y^prime-2 y=x^2 e^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas partes:
Parte (i): Encontrar uma solução não nula para a equação diferencial .
Parte (ii): Encontrar todas as funções de modo que seja solução da equação .
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e como encontrar soluções gerais e específicas. Vamos lá!

Passo 2

Parte (i): Vamos começar resolvendo a equação diferencial homogênea y' = 2y .
Essa é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, podemos usar o método de separação de variáveis ou reconhecer que é uma equação com solução exponencial. Vou mostrar o método de separação de variáveis.
Reescrevemos a equação como:
dyy = 2 dx
Agora, separamos as variáveis e :

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integral 1y dy = integral 2 dx
A integral de ln|y| = 2x + C é , e a de é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y = e^2x + C = e^2x cdot e^C , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
y = C1 e^2x
Como é apenas uma constante qualquer (vamos chamar de ), podemos escrever:
Essa é a solução geral da equação homogênea. Mas como queremos uma solução não nula, basta escolher .

Passo 5

Então, uma solução não nula y1(x) = e^2x é:

Passo 6

Parte (ii): Agora, queremos encontrar todas as funções tal que seja solução da equação não homogênea .
Vamos substituir na equação e resolver para .

Passo 7

Primeiro, calculamos a derivada de y' = ddx [A(x) e^2x] = A'(x) e^2x + A(x) cdot 2 e^2x = e^2x [A'(x) + 2A(x)] :

Passo 8

Agora, substituímos y' - 2y = e^2x [A'(x) + 2A(x)] - 2 [A(x) e^2x] = e^2x [A'(x) + 2A(x) - 2A(x)] = e^2x A'(x) e e^2x A'(x) = x^2 e^2x na equação diferencial:
Queremos que isso seja igual a :

Passo 9

Podemos cancelar A'(x) = x^2 dos dois lados (desde que A(x) = integral x^2 dx = x^33 + C , o que é sempre verdadeiro):
Agora, precisamos integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Portanto, todas as funções A(x) = x^33 + C que tornam solução da equação são:
Onde é uma constante real qualquer.

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