4.4. Determine onde a função

f(x)=\sqrt{1-x^{2}}
é contínua.
Solução. A raiz quadrada exige
1-x^{2} \geq 0
Logo,
x^{2} \leq 1 \quad \Longrightarrow \quad-1 \leq x \leq 1 .
A função 1-x^{2} é polinomial, portanto contínua em toda a reta. A função raiz quadrada é contínua para argumentos não negativos. Assim, a composição é contínua em todo o seu domínio:
[-1,1] .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar onde a função f(x)=\sqrt{1-x^{2}} é contínua.
  • Nos dá a expressão explícita da função: f(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
  • Informação importante ligada ao domínio: a raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, ou seja, devemos ter 1-x^{2}\geq 0.
    Nada mais é pedido além de localizar os pontos x em que f é contínua.

Passo 2

Encontrar o domínio (os x onde a função está definida).
  • A condição de existência da raiz é
1-x^{2}\geq 0.
  • Resolver essa desigualdade:
1-x^{2}\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\leq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\leq x\leq 1.
Portanto a função está definida exatamente em [-1,1]. Esse é o domínio de f.

Passo 3

Relembrando o que significa ser contínuo num ponto (mini-aula).
  • Definição: dizemos que uma função f é contínua em a se existe o valor f(a) e
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Para pontos de fronteira do domínio (como os extremos de um intervalo fechado), usa-se a noção de limite lateral: f é contínua em -1 se \lim_{x\to -1^{+}} f(x)=f(-1) e em 1 se \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=f(1).
  • Teorema útil (composição): se g é contínua em a e h é contínua em g(a), então a composição h\circ g é contínua em a.

Passo 4

Verificar continuidade das funções que aparecem na composição.
  • A função p(x)=1-x^{2} é um polinômio (soma e produto de potências e constantes), logo é contínua em toda a reta. Em particular é contínua em cada x\in[-1,1].
  • A função r(t)=\sqrt{t} (definida para t\geq 0) é contínua para todo t\geq 0. Vou justificar isso de forma simples:
    • Se a>0, então para t perto de a temos
    \left|\sqrt{t}-\sqrt{a}\right|=\frac{|t-a|}{\sqrt{t}+\sqrt{a}}\leq\frac{|t-a|}{\sqrt{a}},então \sqrt{t}\to\sqrt{a} quando t\to a.
    • Se a=0, então 0\leq \sqrt{t}\leq \sqrt{|t-0|} para t próximo de 0 e t\geq 0, e claramente \sqrt{t}\to 0 quando t\to 0^{+}.
    • Conclusão: r(t)=\sqrt{t} é contínua em todo t\geq 0.

Passo 5

Aplicar o teorema da composição para pontos interiores do domínio.
  • Para qualquer a com -1<a<1 temos p(a)=1-a^{2}>0. Como p é contínua em a e r é contínua em p(a)>0, a composição
f(x)=r(p(x))=\sqrt{1-x^{2}}
é contínua em a pelo teorema da composição. Portanto f é contínua em todo ponto interior do intervalo (-1,1).

Passo 6

Verificar continuidade nos extremos x=-1 e x=1 (limites laterais).
  • Calcular o valor da função nos extremos (eles pertencem ao domínio):
f(-1)=\sqrt{1-(-1)^{2}}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0,
f(1)=\sqrt{1-1^{2}}=\sqrt{0}=0.
  • Limite quando x\to 1^{-}: como 1-x^{2}\to 0^{+} quando x\to 1^{-}, e a função raiz é contínua em 0 pela observação anterior, segue que
\lim_{x\to 1^{-}} \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\lim_{x\to 1^{-}}(1-x^{2})}=\sqrt{0}=0=f(1).
Logo f é contínua em x=1 (pelo limite à esquerda).
  • Limite quando x\to -1^{+}: de modo análogo, 1-x^{2}\to 0^{+} quando x\to -1^{+}, então
\lim_{x\to -1^{+}} \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{0}=0=f(-1).
Logo f é contínua em x=-1 (pelo limite à direita).

Passo 7

Conclusão final passo a passo e comentário motivador.
  • Vimos que f está definida exatamente em [-1,1].
  • Mostramos que em cada ponto interior -1<x<1 a função é contínua pela composição de funções contínuas.
  • Mostramos também que nos extremos -1 e 1 os limites laterais existem e coincidem com os valores da função, então f é contínua nesses pontos também.
  • Portanto f é contínua em todo o seu domínio [-1,1]. Tá feito — deu trabalho mas foi direto; você consegue aplicar isso em prova também: primeiro ache o domínio, depois use continuidade de polinômios e da raiz e verifique extremos com limites laterais.

Resposta

[-1,1]

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