Encontre a função complementar para as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^prime prime+4 y=x sin (2 x)+8

Passo 1

O enunciado pede a função complementar da equação diferencial
y'' + 4y = xsin(2x) + 8
Isso significa resolver a parte homogênea, ou seja, achar a solução geral de
y'' + 4y = 0,
que é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + 4y = 0
substituindo y sim e^r x.

Passo 3

A equação característica fica
r^2 + 4 = 0,
cuja solução são raízes complexas
r = pm 2,i

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas r = alpha pm beta i a solução homogênea é
yc = C1 e^alpha xcos(beta x) + C2 e^alpha xsin(beta x)
Aqui alpha=0 e beta=2, logo

Resposta

yc = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

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