Encontre a função comprimento de arco da hélice circular F(t)=(2 cos (t), 2 sen(t), t). Solução: sqrt(5) t

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a função que dá o comprimento de arco da hélice circular definida por F(t)=(2cos t,,2sin t,,t). O conteúdo envolvido é cálculo de comprimento de curva em parametrização vetorial, e vamos precisar usar derivada vetorial e a fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Pela definição de comprimento de curva, se F:[0,t]toR^3 é a parametrização, a função arco s(t) é dada por
s(t)=integral0^tlVert F'(u)rVert,du

Passo 3

Vamos calcular a derivada vetor e seu módulo. Derivando componente a componente temos
F'(t)=(-2sin t,,2cos t,,1)
O módulo é
lVert F'(t)rVert=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2+1^2=raiz4sin^2t+4cos^2t+1=raiz5,
que é constante.

Passo 4

Como lVert F'(u)rVert=raiz5 é constante, a integral fica simples:
s(t)=integral0^traiz5,du=raiz5,t

Resposta

s(t)=raiz5,t

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