Seja o sistema definido pela equação:
. Determine a amplitude do sinal de saída quando a entrada for:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um sistema definido pela equação:
E a entrada do sistema é:
O que a gente precisa encontrar é a amplitude do sinal de saída
. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e resposta a sinais senoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o sistema dado é linear e invariante no tempo (LTI). Em sistemas LTI, quando a entrada é uma senoide, a saída também será uma senoide da mesma frequência, mas com amplitude e fase possivelmente diferentes.
Nossa entrada é uma cossenoidal:
Onde
.
Passo 3
Para encontrar a amplitude da saída
, precisamos calcular a função de transferência (ou resposta em frequência) do sistema. A equação do sistema é:
Podemos representar isso na transformada Z como:
Mas, como estamos interessados na frequência, substituímos
por
:
Passo 4
A amplitude da saída é dada pelo módulo de
. Vamos calcular isso:
Utilizando a identidade de Euler
, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as expressões trigonométricas. Sabemos que:
Substituindo essas na equação de
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos fatorar
na segunda parte:
Perceba que
. Então, podemos reescrever:
Factorizando
:
E sabemos que
:
Passo 7
Agora, substituímos
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A amplitude do sinal de saída
é 4.