Seja o sistema definido pela equação: y[n]=x[n]-x[n-1]+x[n-2]. Determine a amplitude do sinal de saída quando a entrada for: x[n]=2 cdot cos (2 cdot(pi / 3) n).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um sistema definido pela equação:
y[n] = x[n] - x[n-1] + x[n-2]
E a entrada do sistema é:
x[n] = 2 cdot cos(2 cdot (pi3) n)
O que a gente precisa encontrar é a amplitude do sinal de saída . Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e resposta a sinais senoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o sistema dado é linear e invariante no tempo (LTI). Em sistemas LTI, quando a entrada é uma senoide, a saída também será uma senoide da mesma frequência, mas com amplitude e fase possivelmente diferentes.
Nossa entrada é uma cossenoidal:
x[n] = 2 cdot cos(omega n)
Onde .

Passo 3

Para encontrar a amplitude da saída y[n] = x[n] - x[n-1] + x[n-2] , precisamos calcular a função de transferência (ou resposta em frequência) do sistema. A equação do sistema é:
H(z) = 1 - z^-1 + z^-2
Podemos representar isso na transformada Z como:
H(e^jomega) = 1 - e^-jomega + e^-j2omega
Mas, como estamos interessados na frequência, substituímos por :

Passo 4

A amplitude da saída é dada pelo módulo de |H(e^jomega)| = |1 - e^-jomega + e^-j2omega| . Vamos calcular isso:
|H(e^jomega)| = raiz(1 - cos(omega) + cos(2omega))^2 + (-sin(omega) + sin(2omega))^2
Utilizando a identidade de Euler , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as expressões trigonométricas. Sabemos que:
cos(2omega) = 2cos^2(omega) - 1
sin(2omega) = 2sin(omega)cos(omega)
Substituindo essas na equação de |H(e^jomega)| = raiz(1 - cos(omega) + 2cos^2(omega) - 1)^2 + (-sin(omega) + 2sin(omega)cos(omega))^2 :
|H(e^jomega)| = raiz(2cos^2(omega) - cos(omega))^2 + (sin(omega)(2cos(omega) - 1))^2
Simplificando:

Passo 6

Vamos fatorar |H(e^jomega)| = raiz(2cos^2(omega) - cos(omega))^2 + sin^2(omega)(2cos(omega) - 1)^2 na segunda parte:
|H(e^jomega)| = raizcos^2(omega)(2cos(omega) - 1)^2 + sin^2(omega)(2cos(omega) - 1)^2
Perceba que |H(e^jomega)| = |2cos(omega) - 1| cdot raizcos^2(omega) + sin^2(omega) . Então, podemos reescrever:
|H(e^jomega)| = |2cos(omega) - 1|
Factorizando :
E sabemos que :

Passo 7

Agora, substituímos |H(e^j2pi3)| = |2cos(2pi3) - 1| :
|H(e^j2pi3)| = |2 cdot (-12) - 1| = |-1 - 1| = |-2| = 2
Sabemos que , então:

Resposta

A amplitude do sinal de saída é 4.

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