(a) Determine a reta que passar pelo ponto P0=(2,3) e é paralela ao vetor v=(1,2).
(b) Determine a reta que passar pelo ponto P0=(1,1,1) e é paralela ao vetor v=(0,1 / 2,0).

Passo 1

O enunciado pede para obter, no item (a), a reta em R^2 que passa por P0=(2,3) e é paralela a v=(1,2), e, no item (b), a reta em R^3 que passa por P0=(1,1,1) e é paralela a v=(0,tfrac12,0). O conteúdo envolve equação paramétrica de reta e, no caso do plano, também a forma cartesiana. Para resolver, vamos usar a definição
vec r(t)=vec P0 + t,vec v

Passo 2

A forma paramétrica de qualquer reta em R^2 ou R^3 é
vec r(t)=vec P0 + t,vec v
Aplicando ao item (a):
vec r(t)=(2,3)+t,(1,2)
que em coordenadas dá
x=2+t, y=3+2t
Se quisermos a forma cartesiana no plano, basta eliminar t:
x-21=y-32

Passo 3

Para o item (b), seguimos o mesmo raciocínio em R^3. A equação paramétrica é
vec r(t)=(1,1,1)+t,(0,tfrac12,0)
Ou em coordenadas:
x=1, y=1+tfrac t2, z=1
Não faz sentido escrever forma cartesiana simétrica completa porque duas das coordenadas são constantes, então fica natural deixar na forma paramétrica acima.

Resposta

Parte (a): vec r(t)=(2,3)+t,(1,2), com forma cartesiana x-21=y-32.
Parte (b): vec r(t)=(1,1,1)+t,(0,tfrac12,0), i.e. x=1, y=1+tfrac t2, z=1.

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