Encontre uma função contínua que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial dada.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução contínua de uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo não-homogêneo f(x) definido por partes e condição inicial y(0)=0. O método que vamos usar é o do fator integrante, e como f(x) muda em x=3, vamos resolver em dois intervalos: 0≤x≤3 e x>3.
Passo 2
No intervalo 0≤x≤3 temos f(x)=1. A equação é
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
, obtemos
Integrando de 0 até x,
Como y(0)=0,
Passo 3
No intervalo x>3 temos f(x)=0, então a equação homogênea é
cuja solução geral é
Para manter y contínua em x=3, igualamos
Logo
Então
Resposta
A solução contínua é
y(x)=
y(x)=