Encontre uma função contínua que satisfaça a equação diferencial dada e a condição inicial dada.
1, & 0 <= x <= 3 0, & x>3, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução contínua de uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo não-homogêneo f(x) definido por partes e condição inicial y(0)=0. O método que vamos usar é o do fator integrante, e como f(x) muda em x=3, vamos resolver em dois intervalos: 0≤x≤3 e x>3.

Passo 2

No intervalo 0≤x≤3 temos f(x)=1. A equação é
dydx+2y=1
O fator integrante é
mu(x)=e^integral2,dx=e^2x
Multiplicando a equação por e^2x, obtemos
ddxl(y e^2xr)=e^2x
Integrando de 0 até x,
y(x)e^2x-y(0)e^0=integral0^xe^2t,dt=e^2x-12
Como y(0)=0,
y(x)=e^2x-12e^-2x=1-e^-2x2

Passo 3

No intervalo x>3 temos f(x)=0, então a equação homogênea é
dydx+2y=0
cuja solução geral é
y(x)=D e^-2x
Para manter y contínua em x=3, igualamos
y(3^-)=1-e^-62=y(3^+)=D e^-6
Logo
D=1-e^-62e^6=e^6-12
Então
y(x)=e^6-12e^-2x, x>3

Resposta

A solução contínua é
y(x)=
tfrac1-e^-2x2,&0<= x<=3, tfrac(e^6-1)e^-2x2,&x>3

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