Encontre a solução das EDOs lineares, por meio do método do fator integrante.
3.10 x d yd x-y=x^2 sen x

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a equação linear de 1ª ordem 3.10
xdydx-y=x^2sin x
Conteúdo: EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma padrão dy/dx+P(x)y=Q(x). Dividimos tudo por x (assumindo xneq0):
dydx-1xy=xsin x
Aqui temos P(x)=-1/x e Q(x)=xsin x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(-1/x),dx=e^-ln x=x^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-1 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto mu(x)y:
x^-1dydx-x^-2y=sin x
Portanto,
ddxl(x^-1yr)=sin x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-1y=integralsin x,dx=-cos x+C,
onde C é constante de integração. Isolando y:
y=xl(-cos x+Cr)=-xcos x+C x

Resposta

A solução geral é
y=Cx - xcos x,
com C constante arbitrária.

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