Encontre uma função cúbica f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d que tenha um valor máximo local 3 em x=2 e um valor mínimo local 0 em x=1.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma função cúbica da forma \;f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\; que satisfaça duas condições de extremos locais. As informações dadas são:
\begin{aligned} &\text{(i)}\qquad f(2)=3\quad\text{(o valor do extremo em }x=2\text{ é }3),\\\ &\text{(ii)}\qquad f(1)=0\quad\text{(o valor do extremo em }x=1\text{ é }0),\\\ &\text{(iii)}\qquad x=2\text{ é ponto crítico (extremo local) de }f,\\\ &\text{(iv)}\qquad x=1\text{ é ponto crítico (extremo local) de }f. \end{aligned}éééíéí
Aqui “ponto crítico” significa que a derivada de f se anula nesses pontos. Não vou resolver nada neste passo; só organizei o que o problema exige e os dados disponíveis.

Passo 2

Agora vamos transformar as condições em equações. Primeiro escrevo a derivada de \;f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\;. A derivada é obtida aplicando a regra básica: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}, multiplicada pelo coeficiente.
f'(x)=3a x^{2}+2b x+c.
Como x=1 e x=2 são pontos críticos, temos
f'(1)=0\quad\text{e}\quad f'(2)=0.
Escrevendo essas duas igualdades obtemos duas equações lineares:
\begin{aligned} &3a + 2b + c = 0,\\\ &12a + 4b + c = 0. \end{aligned}
Além disso, as condições sobre os valores de f dão mais duas equações:
\begin{aligned} &f(1)=a+b+c+d=0,\\\ &f(2)=8a+4b+2c+d=3. \end{aligned}
Portanto temos um sistema linear de quatro equações para as quatro incógnitas a,b,c,d.

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro subtraio a primeira equação da segunda (as duas da derivada) para eliminar c:
(12a+4b+c)-(3a+2b+c)=0-0 \quad\Rightarrow\quad 9a+2b=0.
Desse modo isolamos b em função de a:
b = -\frac{9}{2}\,a.

Passo 4

Com b em função de a, volto a uma das equações de derivada para achar c. Uso 3a+2b+c=0:
c = -3a - 2b.
Substituindo b=-\dfrac{9}{2}a:
c = -3a - 2\Big(-\frac{9}{2}a\Big) = -3a +9a = 6a.

Passo 5

Agora usamos f(1)=0 para relacionar d com a. A equação é a+b+c+d=0. Substituindo b e c:
a + \Big(-\frac{9}{2}a\Big) + 6a + d = 0.
Somando os coeficientes de a:
1 - \frac{9}{2} + 6 = \frac{2}{2} - \frac{9}{2} + \frac{12}{2} = \frac{5}{2}.
Então
\frac{5}{2}a + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d = -\frac{5}{2}a.

Passo 6

Finalmente usamos f(2)=3, que é 8a+4b+2c+d=3. Substituo b,c,d em função de a:
8a + 4\Big(-\frac{9}{2}a\Big) + 2(6a) + \Big(-\frac{5}{2}a\Big) = 3.
Calculo termo a termo:
8a -18a +12a -\frac{5}{2}a = 3.
Agrupando a:
(8-18+12)a -\frac{5}{2}a = (2)a -\frac{5}{2}a = -\frac{1}{2}a.
Portanto
-\frac{1}{2}a = 3 \quad\Rightarrow\quad a = -6.

Passo 7

Com a=-6 calculo os outros coeficientes:
\begin{aligned} b &= -\frac{9}{2}a = -\frac{9}{2}(-6)=27,\\\ c &= 6a = 6(-6)=-36,\\\ d &= -\frac{5}{2}a = -\frac{5}{2}(-6)=15. \end{aligned}
Logo a função candidata é
f(x) = -6x^{3}+27x^{2}-36x+15.
Agora faço a verificação do tipo de extremo usando a segunda derivada. A segunda derivada é
f''(x)=6a x + 2b = 6(-6)x + 2(27) = -36x +54.
Avalio em x=2 e em x=1:
f''(2) = -36\cdot 2 +54 = -72+54 = -18 < 0,
logo x=2 é ponto de concavidade para baixo → máximo local (coerente com pedir máximo local em x=2). E
f''(1) = -36\cdot 1 +54 = 18 > 0,
logo x=1 é ponto de concavidade para cima → mínimo local (coerente com pedir mínimo local em x=1). As condições de valor também foram impostas e satisfeitas ao resolver o sistema, então a função encontrada cumpre todas as exigências.

Resposta

f(x) = -6x^{3}+27x^{2}-36x+15

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