Encontre uma função cúbica
que tenha um valor máximo local 3 em
e um valor mínimo local 0 em
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma função cúbica da forma
que satisfaça duas condições de extremos locais. As informações dadas são:
Aqui “ponto crítico” significa que a derivada de
se anula nesses pontos. Não vou resolver nada neste passo; só organizei o que o problema exige e os dados disponíveis.
Passo 2
Agora vamos transformar as condições em equações. Primeiro escrevo a derivada de
. A derivada é obtida aplicando a regra básica: a derivada de
é
, multiplicada pelo coeficiente.
Como
e
são pontos críticos, temos
Escrevendo essas duas igualdades obtemos duas equações lineares:
Além disso, as condições sobre os valores de
dão mais duas equações:
Portanto temos um sistema linear de quatro equações para as quatro incógnitas
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro subtraio a primeira equação da segunda (as duas da derivada) para eliminar
:
Desse modo isolamos
em função de
:
Passo 4
Com
em função de
, volto a uma das equações de derivada para achar
. Uso
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora usamos
para relacionar
com
. A equação é
. Substituindo
e
:
Somando os coeficientes de
:
Então
Passo 6
Finalmente usamos
, que é
. Substituo
em função de
:
Calculo termo a termo:
Agrupando
:
Portanto
Passo 7
Com
calculo os outros coeficientes:
Logo a função candidata é
Agora faço a verificação do tipo de extremo usando a segunda derivada. A segunda derivada é
Avalio em
e em
:
logo
é ponto de concavidade para baixo → máximo local (coerente com pedir máximo local em
). E
logo
é ponto de concavidade para cima → mínimo local (coerente com pedir mínimo local em
). As condições de valor também foram impostas e satisfeitas ao resolver o sistema, então a função encontrada cumpre todas as exigências.