Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=3 x^{2}+y^{2}+5.
(a) Mostre que f satisfaz e equação diferencial \frac{1}{3} f_{x x}-f_{y y}=0.
(b) Determine a equação cartesiana (ou geral) do plano \Pi tangente ao gráfico de f no ponto A=(-3,7, f(-3,7)).
(c) Considere a curva \mathcal{C}_{1} que é a interseção do gráfico de f com o plano de equação x=-3 e a curva \mathcal{C}_{2} que é a interseção do gráfico de f com o plano de equação y=7. Sejam r_{1} e r_{2} as retas tangentes às curvas \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2}, respectivamente, no ponto A=(-3,7, f(-3,7)). Determine a equação cartesiana do plano que contém as retas r_{1} e r_{2}.
(d) Seja \Sigma o plano tangente ao gráfico no ponto P=(a, b, f(a, b)). Suponha que o vetor \vec{n}=(-1,1,1 / 12) é ortogonal ao plano \Sigma.
(d.1) Determine as coordenadas do ponto P.
(d.2) Determine a equação cartesiana (ou geral) do plano \Sigma.
(e) Sejam g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função derivável e h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{1} a função composta h=f_{\mathrm{o}} g. Suponha que g(-2,5)=(-3,7) e que a matriz jacobiana de g no ponto (-2,5) é
Determine \nabla h(-2,5) (ou seja, o vetor gradiente de h em (-2,5) ).
Passo 1
O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=3x^{2}+y^{2}+5.
As perguntas são:
(a) Mostrar que f satisfaz a equação diferencial \dfrac{1}{3}f_{xx}-f_{yy}=0.
(b) Determinar a equação cartesiana do plano \Pi tangente ao gráfico de f no ponto A=(-3,7,f(-3,7)). O enunciado fornece A na forma das coordenadas x e y; precisamos calcular f(-3,7) para ter as três coordenadas.
(c) Seja \mathcal{C}_{1} a interseção do gráfico de f com o plano x=-3 e \mathcal{C}_{2} a interseção com o plano y=7. São pedidas as retas tangentes r_{1} e r_{2} a \mathcal{C}_{1} e \mathcal{C}_{2} em A e a equação do plano que contém r_{1} e r_{2}.
(d) Seja \Sigma o plano tangente no ponto P=(a,b,f(a,b)). Supõe-se que o vetor \vec{n}=(-1,1,1/12) é ortogonal ao plano \Sigma.
(d.1) Determinar as coordenadas de P.
(d.2) Determinar a equação cartesiana do plano \Sigma.
(e) Dadas g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} derivável e h=f\circ g. Sabe-se que g(-2,5)=(-3,7) e que a matriz jacobiana de g em (-2,5) é
\begin{bmatrix}1 & -2\\[4pt]3 & -1\end{bmatrix}.
Pediram \nabla h(-2,5).
Todas as informações necessárias estão no enunciado. Vou resolver passo a passo e explicar os conceitos usados.]
Passo 2
(a) Cálculo das derivadas segundas e verificação da equação diferencial.
Primeiro calculemos as derivadas parciais de primeira ordem. Para a função f(x,y)=3x^{2}+y^{2}+5 temos
Explicação didática: a derivada parcial em x trata y como constante; a derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x, enquanto y^{2}+5 é constante em relação a x.
Podemos deixar na forma explícita. Expanda os termos constantes:
z = 81 -18x -54 +14y -98 = -18x +14y -71.
Forma geral (cartesiana) do plano: movendo tudo para o lado esquerdo,
18x -14y + z +71 = 0.
Explicação prática: tanto a forma explícita z=\cdots quanto a forma geral são equivalentes; a forma geral é útil para comparar com outros planos e para identificar o vetor normal às componentes.
Passo 4
(c) Planos de interseção com x=-3 e y=7, retas tangentes r_{1} e r_{2} e plano que contém essas retas.
Curva \mathcal{C}_{1} (interseção com o plano x=-3). Fixando x=-3, o gráfico tem equação
z = f(-3,y)=3(-3)^{2}+y^{2}+5 = y^{2}+32.
Podemos parametrizar \mathcal{C}_{1} por y: \gamma_{1}(t)=(-3,t,t^{2}+32). Na notação do enunciado o ponto A corresponde a t=7.
Tangente a \mathcal{C}_{1} em A: derivando a parametrização em relação a t,
\gamma_{1}'(t)=(0,1,2t).
Avaliada em t=7 dá o vetor diretor da reta r_{1}:
v_{1}=\gamma_{1}'(7)=(0,1,14).
Explicação didática: como x é fixo, a componente x da tangente é 0; a componente y é 1 porque estamos parametrizando por y; a componente z é a derivada de t^{2}+32, que é 2t.
Curva \mathcal{C}_{2} (interseção com o plano y=7). Fixando y=7, o gráfico tem equação
z = f(x,7)=3x^{2}+54.
Parametrização por x: \gamma_{2}(s)=(s,7,3s^{2}+54). O ponto A corresponde a s=-3.
Tangente a \mathcal{C}_{2} em A: derivando,
\gamma_{2}'(s)=(1,0,6s).
Avaliada em s=-3 dá o vetor diretor da reta r_{2}:
v_{2}=\gamma_{2}'(-3)=(1,0,-18).
Agora o plano que contém r_{1} e r_{2} é o plano que passa por A e tem como vetores diretores v_{1} e v_{2}. Um vetor normal a esse plano é o produto vetorial v_{1}\times v_{2}. Calculemos:
Usando esse normal e o ponto A=(-3,7,81), a equação do plano é
-18(x+3)+14(y-7)-1(z-81)=0.
Expandindo e simplificando obtemos
-18x+14y - z -71 = 0.
Multiplicando por -1 para comparar com o item (b) obtemos
18x -14y + z +71 = 0,
que coincide com o plano tangente \Pi encontrado em (b). Portanto o plano que contém r_{1} e r_{2} é exatamente o plano tangente \Pi do item (b).
Didática final: isso mostra que as retas tangentes às curvas de interseção com planos coordenados geradas por fixar x ou y estão contidas no plano tangente geral — é uma propriedade geral do gráfico de uma função z=f(x,y).]
Passo 5
(d) Determinar P e a equação do plano \Sigma sabendo que \vec{n}=(-1,1,1/12) é ortogonal a \Sigma.
Lembrando a forma do vetor normal do plano tangente: para z=f(x,y) o plano tangente em (a,b,f(a,b)) tem, até fator multiplicativo, vetor normal
Usamos o vetor normal dado \vec{n}=(-1,1,1/12) e o ponto P=(2,-6,53). A equação geral do plano com normal \vec{n}=(n_{1},n_{2},n_{3}) passando por P=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
n_{1}(x-x_{0})+n_{2}(y-y_{0})+n_{3}(z-z_{0})=0.
Substituindo:
-1(x-2) + 1(y+6) + \tfrac{1}{12}(z-53)=0.
Multiplicando por 12 para eliminar frações:
-12(x-2) +12(y+6) + (z-53)=0.
Expandindo:
-12x +24 +12y +72 + z -53 = 0.
Somando constantes 24+72-53=43, obtemos a forma simplificada
-12x +12y + z +43 = 0.
Alternativamente, isolando z:
z = 12x -12y -43.
Ambas as formas são equivalentes e descrevem o plano \Sigma.
Passo 7
(e) Determinar \nabla h(-2,5) para h=f\circ g, usando regra da cadeia vetorial.
Idea didática: se g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} e f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, então h=f\circ g tem gradiente dado por
(a) \dfrac{1}{3}f_{xx}-f_{yy}=0 (pois f_{xx}=6 e f_{yy}=2, logo \tfrac{1}{3}\cdot 6-2=0).
(b) Plano tangente: z=-18x+14y-71 ou, na forma geral, 18x-14y+z+71=0.
(c) O plano que contém r_{1} e r_{2} é o mesmo plano tangente do item (b): 18x-14y+z+71=0.
(d.1) P=(2,-6,53).
(d.2) Equação do plano \Sigma: -12x+12y+z+43=0 (ou z=12x-12y-43).