Encontre a função derivada de f(x)=2^x pela definição. Use essa derivada para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=0.

Passo 1

Temos a função f(x)=2^x. A missão é calcular f'(x) a partir da definição de derivada e, em seguida, usar esse resultado para encontrar a equação da reta tangente no ponto x=0. Para isso vamos precisar de limites envolvendo exponenciais e do fato conhecido limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Pela definição, a derivada é f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h. Substituindo f(x)=2^x obtemos
f'(x)=limhto02^x+h-2^xh

Passo 3

Fatorando 2^x em evidência dentro do limite, temos
f'(x)=limhto02^xl(2^h-1r)h=2^xlimhto02^h-1h

Passo 4

Para calcular limhto02^h-1h, usamos a mudança de base 2^h=e^hln2. Então
2^h-1h=e^hln2-1h=e^hln2-1hln2cdotln2

Passo 5

Como u=hln2to0 quando hto0, vale limuto0(e^u-1)/u=1. Assim
limhto02^h-1h=ln2cdotlimuto0e^u-1u=ln2

Passo 6

Logo, concluímos
f'(x)=2^xln2

Passo 7

Agora, no ponto x=0, temos f(0)=2^0=1 e f'(0)=2^0ln2=ln2. A equação da reta tangente em x=0 segue a forma
y-f(0)=f'(0)(x-0)

Passo 8

Substituindo os valores, ficamos com
y-1=(ln2),x o que dá a reta
y=(ln2),x+1

Resposta

A derivada é f'(x)=2^xln2 e a reta tangente em x=0 é y=(ln2)x+1.

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