Encontre a função derivada de
pela definição. Use essa derivada para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Temos a função
. A missão é calcular
a partir da definição de derivada e, em seguida, usar esse resultado para encontrar a equação da reta tangente no ponto
. Para isso vamos precisar de limites envolvendo exponenciais e do fato conhecido
.
Passo 2
Pela definição, a derivada é
. Substituindo
obtemos
Passo 3
Fatorando
em evidência dentro do limite, temos
Passo 4
Para calcular
, usamos a mudança de base
. Então
Passo 5
Como
quando
, vale
. Assim
Passo 6
Logo, concluímos
Passo 7
Agora, no ponto
, temos
e
. A equação da reta tangente em
segue a forma
Passo 8
Substituindo os valores, ficamos com
Resposta
A derivada é
e a reta tangente em
é
.