Seja L: R^+ R uma função logarítmica. Considere as afirmativas abaixo:
i. Para todo x>0, vale que L(1x)=-L(x).
ii. L(1)=0.
iii. L(x+y)=L(x) cdot L(y), para quaisquer x, y reais positivos.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas: É correta apenas a afirmativa (ii).

Passo 1

A questão fala de uma função logarítmica L:R^+toR e pede para verificar três propriedades clássicas de logaritmos e descobrir quais são verdadeiras.

Passo 2

Para a afirmativa (i) usamos a definição básica de logaritmo: L(x) satisfaz L(ab)=L(a)+L(b) e L(1)=0. Se escolhermos a=x e b=1/x, temos L(xcdottfrac1x)=L(1)=0, logo
L(x)+Ll(tfrac1xr)=0
o que implica
Ll(tfrac1xr)=-L(x) Portanto a afirmativa (i) é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmativa (ii), basta lembrar que por definição de logaritmo L(1) sempre vale zero, ou seja,
L(1)=0 Logo a afirmativa (ii) também é verdadeira.

Passo 4

Para a afirmativa (iii), ela diz que
L(x+y)=L(x)cdot L(y) Porém a propriedade correta de logaritmos envolve produto no argumento, não soma:
L(xy)=L(x)+L(y) Não existe uma regra simples que transforme soma de argumentos em produto de logaritmos, então (iii) é falsa.

Passo 5

Assim, apenas as afirmativas (i) e (ii) estão corretas.

Resposta

As afirmativas corretas são (i) e (ii).

Exercícios relacionados