Encontre a função derivada
de:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar a derivada
. Informações relevantes dadas:
Portanto o domínio relevante é todo
e a missão é calcular
para
.
Passo 2
Relembre duas regras de diferenciação que vamos usar (explicadinhas devagar):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui vamos aplicar com
e
. Note que
.
- Regra da cadeia aplicada ao logaritmo: se
é função, então
No nosso caso
e
.
Também precisamos da derivada da função arco-tangente; essa é uma fórmula padrão que vale para todo
:
Intuitivamente, a derivada de
mede a taxa de variação desta função e dá essa expressão em termos de
.
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto ao termo
.
Tomando e
, obtemos
Tomando
Ou seja,
Passo 4
Agora derivamos o segundo termo
usando a regra da cadeia indicada no Passo 2.
Temos
Temos
Simplificando os fatores
e
, resulta
Passo 5
Somamos as duas derivadas obtidas nos passos anteriores para obter
:
Note que
e
são exatamente opostos, pois
. Portanto eles se cancelam. Resta
Passo 6
Conclusão final e comentário curto: a derivada de
simplifica de forma bonita — os termos racionais em
se anulam e sobra apenas a função arco-tangente. Isso é conveniente para a prova: ao ver uma combinação assim, verificar cancelamentos pode poupar cálculos.