Encontre a função derivada f^{\prime} de:
f(x)=x \cdot \operatorname{arctg}(x)-\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x\cdot \operatorname{arctg}(x)-\frac{1}{2}\ln\!\big(x^{2}+1\big)
e pede para encontrar a derivada f'(x). Informações relevantes dadas:
\text{a função } \operatorname{arctg}(x)\text{ está definida para todo }x\in\mathbb{R},çãá
\text{o logaritmo } \ln\big(x^{2}+1\big)\text{ está definido para todo }x\in\mathbb{R}.á
Portanto o domínio relevante é todo \mathbb{R} e a missão é calcular \,f'(x)\, para x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Relembre duas regras de diferenciação que vamos usar (explicadinhas devagar):
  1. Regra do produto: se \,u(x) e v(x) são funções, então
\big(u(x)v(x)\big)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui vamos aplicar com u(x)=x e v(x)=\operatorname{arctg}(x). Note que u'(x)=1.
  1. Regra da cadeia aplicada ao logaritmo: se g(x) é função, então
\frac{d}{dx}\ln\big(g(x)\big)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
No nosso caso g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x.
Também precisamos da derivada da função arco-tangente; essa é uma fórmula padrão que vale para todo x:
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Intuitivamente, a derivada de \operatorname{arctg} mede a taxa de variação desta função e dá essa expressão em termos de x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto ao termo x\cdot \operatorname{arctg}(x).
Tomando u(x)=x e v(x)=\operatorname{arctg}(x), obtemos
\frac{d}{dx}\big(x\cdot \operatorname{arctg}(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot \operatorname{arctg}(x)+x\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(x\cdot \operatorname{arctg}(x)\big)=\operatorname{arctg}(x)+\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Agora derivamos o segundo termo -\dfrac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big) usando a regra da cadeia indicada no Passo 2.
Temos
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)\right)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\ln\big(x^{2}+1\big)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.
Simplificando os fatores 2 e \tfrac{1}{2}, resulta
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\ln\big(x^{2}+1\big)\right)=-\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Somamos as duas derivadas obtidas nos passos anteriores para obter f'(x):
f'(x)=\left(\operatorname{arctg}(x)+\frac{x}{1+x^{2}}\right)+\left(-\frac{x}{x^{2}+1}\right).
Note que \dfrac{x}{1+x^{2}} e -\dfrac{x}{x^{2}+1} são exatamente opostos, pois 1+x^{2}=x^{2}+1. Portanto eles se cancelam. Resta
f'(x)=\operatorname{arctg}(x).

Passo 6

Conclusão final e comentário curto: a derivada de f simplifica de forma bonita — os termos racionais em x se anulam e sobra apenas a função arco-tangente. Isso é conveniente para a prova: ao ver uma combinação assim, verificar cancelamentos pode poupar cálculos.

Resposta

\operatorname{arctg}(x)

Exercícios relacionados